Determine
tais que:
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar
tais que
e
.
Informações relevantes dadas (ou que sabemos sobre ):
Informações relevantes dadas (ou que sabemos sobre
-
é o grupo das permutações dos elementos . - O elemento neutro (identidade) será denotado por
(a permutação que não muda nada). - Quero encontrar elementos não-identidade cuja ordem seja
(isto é, permutações que ao serem aplicadas duas vezes dão ).
Passo 2
Vamos lembrar como escrever e entender elementos de
.
- Uma permutação pode ser escrita em notação de ciclos. Por exemplo,
significa . - Um ciclo de comprimento
tem ordem : aplicando-o vezes obtém-se a identidade. - Transposições são ciclos de comprimento
, por exemplo , e trocam dois elementos deixando o terceiro fixo. Uma transposição aplicada duas vezes retorna tudo ao lugar, portanto tem ordem .
Passo 3
Listar todos os elementos de
(são
no total) e suas naturezas:
-
(identidade), ordem . - As três transposições:
. Cada uma troca dois elementos e fixa o terceiro; cada uma tem ordem . - As duas 3-ciclos:
e . Cada uma tem ordem .
Passo 4
Queremos
e
. Isso significa que
tem ordem
. Pelas observações do passo anterior, os únicos elementos de ordem
em
são as transposições. Portanto os candidatos são exatamente
.
Passo 5
Verificação direta (um exemplo concreto) para fixar a ideia: aplicar
duas vezes.
- Primeiro:
envia . - Aplicando novamente,
volta para , volta para , permanece . Logo .
Mesmo raciocínio vale parae .
Passo 6
O enunciado pediu
. Podemos então escolher quaisquer duas transposições (podem ser iguais ou diferentes conforme o que o problema pede). Um exemplo simples é escolher duas transposições distintas.
Resposta
Exemplo: