Determine f, g \in S^{3} tais que:
f \neq e, f^{2}=e.

Passo 1

O enunciado pede para determinar f, g \in S^{3} tais que f \neq e e f^{2}=e.
Informações relevantes dadas (ou que sabemos sobre S^{3}):
  • S^{3} é o grupo das permutações dos elementos \{1,2,3\}.
  • O elemento neutro (identidade) será denotado por e (a permutação que não muda nada).
  • Quero encontrar elementos não-identidade cuja ordem seja 2 (isto é, permutações que ao serem aplicadas duas vezes dão e).

Passo 2

Vamos lembrar como escrever e entender elementos de S^{3}.
  • Uma permutação pode ser escrita em notação de ciclos. Por exemplo, (1\;2\;3) significa 1\mapsto2,\;2\mapsto3,\;3\mapsto1.
  • Um ciclo de comprimento k tem ordem k: aplicando-o k vezes obtém-se a identidade.
  • Transposições são ciclos de comprimento 2, por exemplo (1\;2), e trocam dois elementos deixando o terceiro fixo. Uma transposição aplicada duas vezes retorna tudo ao lugar, portanto tem ordem 2.

Passo 3

Listar todos os elementos de S^{3} (são 6 no total) e suas naturezas:
  • e (identidade), ordem 1.
  • As três transposições: (1\;2),\\ (1\;3),\\ (2\;3). Cada uma troca dois elementos e fixa o terceiro; cada uma tem ordem 2.
  • As duas 3-ciclos: (1\;2\;3) e (1\;3\;2). Cada uma tem ordem 3.

Passo 4

Queremos f\neq e e f^{2}=e. Isso significa que f tem ordem 2. Pelas observações do passo anterior, os únicos elementos de ordem 2 em S^{3} são as transposições. Portanto os candidatos são exatamente (1\;2), (1\;3), (2\;3).

Passo 5

Verificação direta (um exemplo concreto) para fixar a ideia: aplicar (1\;2) duas vezes.
  • Primeiro: (1\;2) envia 1\mapsto2,\;2\mapsto1,\;3\mapsto3.
  • Aplicando novamente, 1 volta para 1, 2 volta para 2, 3 permanece 3. Logo (1\;2)^{2}=e.
    Mesmo raciocínio vale para (1\;3) e (2\;3).

Passo 6

O enunciado pediu f, g \in S^{3}. Podemos então escolher quaisquer duas transposições (podem ser iguais ou diferentes conforme o que o problema pede). Um exemplo simples é escolher duas transposições distintas.

Resposta

f \in \{(1\;2),\,(1\;3),\,(2\;3)\}
Exemplo: f=(1\;2),\\ g=(1\;3)

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