Seja
o conjunto dos números naturais e considere
dada por
. Prove que
é injetora e sobrejetora.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar que ela é injetora e sobrejetora. Vamos lembrar as definições:
– é injetora se, sempre que
, então
.
– é sobrejetora se, para todo
, existe
tal que
.
–
–
Passo 2
Prova de injetividade.
Suponha que
Suponha que
Pelo definição de
, isso é
Dividindo ambos os lados por
(como
em
), obtemos
Logo,
é injetora.
Passo 3
Análise da sobrejetividade.
Queremos ver se, dado um , existe
com
.
Isso equivale a procurar .
Queremos ver se, dado um
Isso equivale a procurar
- Se
é par, digamos , então e . - Se
é ímpar, não existe tal que , pois é sempre par.
Portanto nem todo
é imagem de algum
, isto é,
não é sobrejetora em
.