Seja \mathbb{N} o conjunto dos números naturais e considere f: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N} dada por f(n)=2 \cdot n. Prove que f é injetora e sobrejetora.

Passo 1

O enunciado define a função
f\colon \mathbb{N} \to \mathbb{N},\qquad f(n)=2n
e pede para mostrar que ela é injetora e sobrejetora. Vamos lembrar as definições:
f é injetora se, sempre que f(n_1)=f(n_2), então n_1=n_2.
f é sobrejetora se, para todo m\in\mathbb{N}, existe n\in\mathbb{N} tal que f(n)=m.

Passo 2

Prova de injetividade.
Suponha que
f(n_1)=f(n_2).
Pelo definição de f, isso é
2n_1 = 2n_2.
Dividindo ambos os lados por 2 (como 2\neq0 em \mathbb{N}), obtemos
n_1 = n_2.
Logo, f é injetora.

Passo 3

Análise da sobrejetividade.
Queremos ver se, dado um m\in\mathbb{N}, existe n\in\mathbb{N} com 2n=m.
Isso equivale a procurar n = m/2.
  • Se m é par, digamos m=2k, então n=k\in\mathbb{N} e f(k)=2k=m.
  • Se m é ímpar, não existe n\in\mathbb{N} tal que 2n=m, pois 2n é sempre par.
Portanto nem todo m\in\mathbb{N} é imagem de algum n, isto é, f não é sobrejetora em \mathbb{N}.

Resposta

f é injetora, mas não é sobrejetora.

Exercícios relacionados