Determine f(0) de modo que as seguintes funções sejam contínuas em x=0 :
a) f(x)=1-cos (x)x^2 ; b) f(x)=x ln (x+1)-x ln (x-1);
c) f(x)=x cotg(x).

Passo 1

O enunciado pede que a gente escolha f(0) de modo que cada função seja contínua em x=0, ou seja, f(0) deve ser igual a limxto0f(x).

Passo 2

Para a) temos f(x)=1-cos(x)x^2. Usando a expansão de Taylor de cos(x) perto de zero, cos(x)approx1-tfracx^22+cdots. Logo
1-cos(x)approx1-l(1-tfracx^22r)=tfracx^22,
e então
1-cos(x)x^2approxtfracx^22x^2=tfrac12 Logo limxto0f(x)=tfrac12, de modo que f(0)=\tfrac12.

Passo 3

Para b) interpretamos f(x)=xln(1+x)-xln(1-x)=xlnl(1+x1-xr). Para x pequeno,
lnl(1+x1-xr)=2x+O(x^3),
portanto
f(x)=xl(2x+O(x^3)r)=2x^2+O(x^4)to0(xto0) Assim limxto0f(x)=0, e escolhemos f(0)=0.

Passo 4

Para c) temos f(x)=xcot(x)=xcos(x)sin(x)=cos(x)sin(x)/x Sabendo que sin(x)/xto1 e cos(x)to1 quando xto0,
f(x)to11=1 Portanto limxto0f(x)=1, e f(0)=1.

Resposta

a) tfrac12; b) 0; c) 1

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