Verifique se as seguintes equações admitem, pelo menos, uma raiz real:
c) sen(x)-x+1=0

Passo 1

No enunciado temos a equação sin(x)-x+1=0. O conteúdo envolvido é o Teorema do Valor Intermediário (TVI) aplicado a funções contínuas. Para resolver, precisamos definir uma função associada, mostrar que ela é contínua e encontrar dois pontos onde ela mude de sinal.

Passo 2

Definimos a função f(x)=sin(x)-x+1. Sabemos que sin(x) é contínua em R e que a função polinomial -x+1 também é contínua, logo f é contínua em todo R por soma de funções contínuas.

Passo 3

Para aplicar o TVI, escolhemos os pontos a=0 e b=pi. Calculamos as imagens: f(0)=sin(0)-0+1=1>0 e f(pi)=sin(pi)-pi+1=0-pi+1=1-pi<0.

Passo 4

Observamos que f(0)cdot f(pi)<0, ou seja, há mudança de sinal de f em [0,pi].

Passo 5

Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe ao menos um cin(0,pi) tal que f(c)=0, ou seja, satisfaz sin(c)-c+1=0.

Resposta

Sim. Existe pelo menos uma raiz real em (0,pi) para a equação sin(x)-x+1=0.

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