Uma esfera oca de raio está carregada com uma unidade de eletricidade estática. A intensidade de um campo elétrico num ponto localizado a unidades do centro da esfera é determinada pela função:
Verifique se a função E=E(x) é contínua. Esboce o gráfico de E.
Passo 1
A questão define a função de intensidade do campo elétrico em três regiões:
Para 0<x<R: E(x)=0
Em x=R: E®=1/(3R^2)
Para x>R: E(x)=x^{-2}
Queremos verificar a continuidade de E(x) e, depois, esboçar seu gráfico.
Passo 2
Primeiro, analisamos a região 0<x<R. Nesse intervalo E(x)=0 é uma função constante, e toda função constante é contínua em seu domínio. Logo, E(x) é contínua em qualquer ponto com 0<x<R.
Passo 3
Agora, para x>R temos E(x)=x^{-2}, que é uma função potência com expoente negativo. Sabemos pela teoria que funções do tipo x^n são contínuas em todo x≠0. Portanto, E(x)=x^{-2} é contínua para todo ponto x>R.
Passo 4
Falta verificar continuidade em x=R. Calculamos as duas recorrências e comparamos ao valor da função:
Limite pela esquerda:
limxto R^-E(x)=limxto R^-0=0
- Limite pela direita: limxto R^+E(x)=limxto R^+x^-2=R^-2
Valor da função em R:
E(R)=13R^2
Como 0\neq 1/(3R^2)\neq R^{-2}, os limites lateral esquerdo e direito não coincidem com E®. Logo, há descontinuidade em x=R.
Passo 5
Concluímos que E(x) é contínua nos intervalos (0,R) e (R,∞), mas apresenta descontinuidade no ponto x=R.
Para esboçar o gráfico:
De 0 a R: traçar a reta horizontal y=0.
Em x=R: marcar ponto cheio em (R,1/(3R^2)) e círculos abertos em (R,0) e em (R,R^{-2}).
Para x>R: traçar o ramo da hipérbole y=1/x^2 decrescendo de R em diante.
Resposta
A função E(x) é contínua para 0<x<R e para x>R, mas apresenta descontinuidade em x=R (jump).