Uma esfera oca de raio R está carregada com uma unidade de eletricidade estática. A intensidade de um campo elétrico E(x) num ponto P localizado a x unidades do centro da esfera é determinada pela função:
E(x)=lcc 0 & se & 0R
Verifique se a função E=E(x) é contínua. Esboce o gráfico de E.

Passo 1

A questão define a função de intensidade do campo elétrico em três regiões:

Para 0<x<R: E(x)=0

Em x=R: E®=1/(3R^2)

Para x>R: E(x)=x^{-2}
Queremos verificar a continuidade de E(x) e, depois, esboçar seu gráfico.

Passo 2

Primeiro, analisamos a região 0<x<R. Nesse intervalo E(x)=0 é uma função constante, e toda função constante é contínua em seu domínio. Logo, E(x) é contínua em qualquer ponto com 0<x<R.

Passo 3

Agora, para x>R temos E(x)=x^{-2}, que é uma função potência com expoente negativo. Sabemos pela teoria que funções do tipo x^n são contínuas em todo x≠0. Portanto, E(x)=x^{-2} é contínua para todo ponto x>R.

Passo 4

Falta verificar continuidade em x=R. Calculamos as duas recorrências e comparamos ao valor da função:
  • Limite pela esquerda:
limxto R^-E(x)=limxto R^-0=0
- Limite pela direita:
limxto R^+E(x)=limxto R^+x^-2=R^-2
  • Valor da função em R:
E(R)=13R^2
Como 0\neq 1/(3R^2)\neq R^{-2}, os limites lateral esquerdo e direito não coincidem com E®. Logo, há descontinuidade em x=R.

Passo 5

Concluímos que E(x) é contínua nos intervalos (0,R) e (R,∞), mas apresenta descontinuidade no ponto x=R.
Para esboçar o gráfico:
  • De 0 a R: traçar a reta horizontal y=0.
  • Em x=R: marcar ponto cheio em (R,1/(3R^2)) e círculos abertos em (R,0) e em (R,R^{-2}).
  • Para x>R: traçar o ramo da hipérbole y=1/x^2 decrescendo de R em diante.

Resposta

A função E(x) é contínua para 0<x<R e para x>R, mas apresenta descontinuidade em x=R (jump).

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