Determine f(0) de modo que as seguintes funções sejam contínuas em x=0 :
a) f(x)=1-cos (x)x^2;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de f(0) que torne contínua em x=0 a função f(x)= 1-cos(x)x^2. O conteúdo principal é limite e continuidade de funções e vamos usar a definição de continuidade junto com uma expansão de Taylor (ou identidade trigonométrica) para calcular esse limite.

Passo 2

Para garantir a continuidade em x=0, precisamos que f(0)=limxto01-cos(x)x^2. Usando a expansão de Taylor de cos(x) em torno de 0, temos
cos(x)=1-x^22+o(x^2)
Substituindo na expressão do limite:
limxto01-l(1-x^22+o(x^2)r)x^2 =limxto0x^22+o(x^2)x^2 =12

Resposta

f(0)=tfrac12.

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