Seja
. Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através da definição.
(f)
.
2
Sejam
e
. Determine a transformada inversa de Laplace da função:
(a)
.
(f)
2
Sejam
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, temos duas partes:
-
Transformada de Laplace da função $ f(t) $:
- Enunciado: $ f(t) =
$ - Conteúdo: Vamos usar a definição da transformada de Laplace para funções definidas por partes.
- O que vamos precisar: Saber como aplicar a definição da transformada de Laplace para funções com mudança de comportamento em determinado ponto.
- Enunciado: $ f(t) =
-
Transformada inversa de Laplace da função $ F(s) $:
- Enunciado: $ F(s) = \frac{2s - 5}{s(s^2 + s - 12)} $
- Conteúdo: Vamos achar a função no domínio do tempo a partir da transformada de Laplace.
- O que vamos precisar: Conhecer técnicas de frações parciais e tabelas de transformadas inversas.
Passo 2
Parte 1: Transformada de Laplace de $ f(t) $
Vamos começar com a transformada de Laplace da função $ f(t) $.
A definição da transformada de Laplace é:
No nosso caso, $ f(t) $ é uma função que muda de valor dependendo de $ t $. Então, vamos dividir a integral nesse ponto de mudança, que é $ t = 2 $.
Então, temos:
Agora, fazemos uma substituição para simplificar. Vamos deixar $ \tau = t - 2 $, então quando $ t = 2 $, $ \tau = 0 $, e quando $ t \to \infty $, $ \tau \to \infty $.
A integral fica:
Sabemos que:
para $ n = 2 $:
Então, substituindo de volta:
Parte 2: Transformada inversa de Laplace de $ F(s) $
Agora, vamos encontrar a transformada inversa de $ F(s) = \frac{2s - 5}{s(s^2 + s - 12)} $.
Primeiro, vamos fatorar o denominador:
Então, temos:
Agora, vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por $ s(s + 4)(s - 3) $:
Para encontrar $ A, B, C $, escolhemos valores de $ s $ que simplificam a equação:
- $ s = 0 $:
- $ s = -4 $:
- $ s = 3 $:
Então, temos:
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace usando tabelas básicas:
Aplicando isso:
Resposta
A transformada de Laplace de $ f(t) $ é $ \mathcal{L}{f(t)} = \frac{2 e{-2s}}{s{3}} $ e a transformada inversa de $ F(s) $ é $ y(t) = \frac{5}{12} - \frac{13}{28} e^{-4t} + \frac{1}{21} e^{3t} $.