Seja Lf(t)=F(s). Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através da definição.
(f) f(t)=ll0, & 0 <= t<2 (t-2)^2, & t >= 2.
2
Sejam F(s)=Lf(t) e Y(s)=Ly(t). Determine a transformada inversa de Laplace da função:
(a) F(s)=2 s-5s(s^2+s-12).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, temos duas partes:
  1. Transformada de Laplace da função $ f(t) $:
    • Enunciado: $ f(t) = f(t) $
    • Conteúdo: Vamos usar a definição da transformada de Laplace para funções definidas por partes.
    • O que vamos precisar: Saber como aplicar a definição da transformada de Laplace para funções com mudança de comportamento em determinado ponto.
  2. Transformada inversa de Laplace da função $ F(s) $:
    • Enunciado: $ F(s) = \frac{2s - 5}{s(s^2 + s - 12)} $
    • Conteúdo: Vamos achar a função no domínio do tempo a partir da transformada de Laplace.
    • O que vamos precisar: Conhecer técnicas de frações parciais e tabelas de transformadas inversas.

Passo 2

Parte 1: Transformada de Laplace de $ f(t) $

Vamos começar com a transformada de Laplace da função $ f(t) $.
A definição da transformada de Laplace é:
f(t)
No nosso caso, $ f(t) $ é uma função que muda de valor dependendo de $ t $. Então, vamos dividir a integral nesse ponto de mudança, que é $ t = 2 $.
Então, temos:
f(t)
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt
Agora, fazemos uma substituição para simplificar. Vamos deixar $ \tau = t - 2 $, então quando $ t = 2 $, $ \tau = 0 $, e quando $ t \to \infty $, $ \tau \to \infty $.
A integral fica:
f(t)
Sabemos que:
t
para $ n = 2 $:
t = 2
Então, substituindo de volta:
Lf(t) = integral0^2 e^-st cdot 0 , dt + integral2^infty e^-st (t - 2)^2 , dt

Parte 2: Transformada inversa de Laplace de $ F(s) $

Agora, vamos encontrar a transformada inversa de $ F(s) = \frac{2s - 5}{s(s^2 + s - 12)} $.
Primeiro, vamos fatorar o denominador:
= 0 + integral2^infty e^-st (t - 2)^2 , dt
Então, temos:
tau = t - 2
Agora, vamos decompor em frações parciais:
t = 2
Multiplicando ambos os lados por $ s(s + 4)(s - 3) $:
tau = 0
Para encontrar $ A, B, C $, escolhemos valores de $ s $ que simplificam a equação:
  1. $ s = 0 $:
t to infty
  1. $ s = -4 $:
tau to infty
  1. $ s = 3 $:
integral0^infty e^-s(tau + 2) tau^2 , dtau = e^-2s integral0^infty e^-stau tau^2 , dtau
Então, temos:
integral0^infty e^-stau tau^n , dtau = n!s^n+1
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace usando tabelas básicas:
n = 2
integral0^infty e^-stau tau^2 , dtau = 2!s^3 = 2s^3
Lf(t) = e^-2s cdot 2s^3 = 2 e^-2ss^3
Aplicando isso:
F(s)

Resposta

A transformada de Laplace de $ f(t) $ é $ \mathcal{L}{f(t)} = \frac{2 e{-2s}}{s{3}} $ e a transformada inversa de $ F(s) $ é $ y(t) = \frac{5}{12} - \frac{13}{28} e^{-4t} + \frac{1}{21} e^{3t} $.

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