Determine em que pontos as seguintes funções são contínuas: e) f(x)=e^x^2+e^sen(x)+2(x^2+6)(e^x+1)

Passo 1

O enunciado pede para determinar onde a função abaixo é contínua. O conteúdo é continuidade de funções reais formadas por operações (soma, produto e quociente) de funções elementares. Vamos usar que funções exponencial, seno e polinômios são contínuas em R e que soma, produto e quociente (quando o denominador não se anula) preservam a continuidade.

Passo 2

Primeiro, identifique as funções elementares envolvidas: e^x^2, e^sin(x), a constante 2, x^2+6 e e^x+1. Sabemos que todas elas são contínuas em R.

Passo 3

Em seguida, analise o denominador para encontrar o domínio de f. Temos em bloco:
(x^2+6)(e^x+1)
Note que x^2+6>0 para todo xinR e e^x+1>0 para todo xinR, portanto o denominador nunca se anula.

Passo 4

Como f(x) é quociente de funções contínuas em cada ponto do domínio (e o denominador não zera em nenhum x), concluímos que f é contínua em todo o seu domínio.

Resposta

A função é contínua para todo xinR.

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