Questão 2: (2.5 pontos)
Utilizando o Teorema de Stokes, encontre o valor de
, onde
e a curva
é a interseção da parte superior da esfera
, com os planos
e
, orientada no sentido anti-horário quando é observada de qualquer ponto da parte positiva do eixo
.
Utilizando o Teorema de Stokes, encontre o valor de
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha
onde
e
é a curva fechada obtida como a interseção da parte superior da esfera
com os planos
e
. A orientação de
é anti-horária vista de qualquer ponto do eixo
positivo.
Informações relevantes que o enunciado dá:
Informações relevantes que o enunciado dá:
-
está definida em menos talvez a origem (pois aparece no denominador). - A curva
é o limite da região da meia-esfera superior recortada entre os dois planos e . - A orientação anti-horária vista de cima corresponde à escolher a normal à superfície com componente
positiva (norma apontando para fora da esfera no patch superior).
As tarefas são: usar o Teorema de Stokes para transformar a integral de linha em uma integral de superfície e calcular o valor numérico.
Passo 2
Ensinando o Teorema de Stokes (curtinho e prático): o Teorema de Stokes diz que, para uma superfície orientada
com bordo
e um campo vetorial
suficientemente suave,
onde
é a unidade normal em
escolhida de acordo com a orientação de
. Aqui vamos escolher
como o pedaço da esfera unitária
limitado pelos dois planos — exatamente a superfície cuja borda é
. Isso é natural e mantém a normal com componente
positiva (coerente com a orientação pedida).
Passo 3
Calcular o rotacional
passo a passo. Primeiro escrevo as componentes:
A fórmula do rotacional é
Calculamos cada componente:
- Primeira componente:
Logo
- Segunda componente:
portanto
- Terceira componente:
Subtraindo,
Como
, isso vira
Juntando as componentes:
Passo 4
Agora observamos que estamos integrando sobre a esfera unitária
. Em
temos
, logo
. Assim no patch esférico
A normal unitária exterior à esfera é
(porque em esfera unitária o vetor radial é unitário). Portanto
Conclusão útil e bonita: sobre a esfera unitária o integrando do Teorema de Stokes fica simplesmente
.
Passo 5
Logo a integral de linha vale a integral de superfície
Agora paramos
na esfera unitária usando coordenadas esféricas:
com
(meia-esfera superior) e
variando de
a
. Porém a região de
e
é recortada pelos planos
e
. Em vez de tentar achar limites rectangulares em
, há um truque prático: para um dado
fixe, a condição de estar entre os planos é
, ou em esféricas
. Isso dá, para cada
, um
máximo
O elemento de área da esfera unitária é
. Assim
Calculamos a integral interna:
Logo a integral vira
Agora usamos a identidade para
. Se
, então
Portanto a integral simplifica muito:
Passo 6
Falta calcular
. Por simetria
tem período
, então podemos escrever
Para
fazemos a substituição
, o que dá
e
. Assim
Essa integral é direta:
Portanto