Determine se F é ou não um campo vetorial conservador(conservativo). Se for, determine uma função f tal que F=nabla f. Tal f chama-se função potencial.
(b) F(x, y)=e^x sin y i+e^x sin y j.

Passo 1

Temos o campo vetorial F(x,y)=e^xsin y,i+e^xsin y,j. Precisamos determinar se ele é conservativo, isto é, se existe uma função potencial f tal que F=nabla f. Para isso, vamos usar o critério das derivadas parciais cruzadas em um domínio simplesmente conexo.

Passo 2

Num domínio simplesmente conexo como R^2, um campo F=P,i+Q,j é conservativo se e somente se
partial Ppartial y=partial Qpartial x

Passo 3

Aqui temos P(x,y)=e^xsin y e Q(x,y)=e^xsin y. Calculando as derivadas parciais:
partial Ppartial y=e^xcos y,
partial Qpartial x=e^xsin y

Resposta

Como e^xcos yneq e^xsin y em geral, o critério falha. Logo, F não é conservativo e não existe função potencial f.

Exercícios relacionados