Seja f(x)=exp (-x^2+a x+a^2), x in R, onde a é uma constante. Determine o valor de a, tal que x=16 seja um ponto de máximo local e absoluto da função f.
a=32

Passo 1

O exercício apresenta a função f(x)=exp(-x^2 + a x + a^2) e pede para achar o valor de a de modo que x=16 seja ponto de máximo local e absoluto. O conteúdo envolvido é derivadas de funções compostas (exponencial) e análise de máximos via primeira e segunda derivada.

Passo 2

Como f(x)=e^g(x) com g(x)=-x^2+ax+a^2 e a exponencial é crescente, os extremos de f ocorrem onde g' anula. Calculamos
g'(x)=-2x + a
e impomos g'(16)=0:
-2cdot16 + a=0
a=32

Passo 3

Só resta checar a concavidade para garantir máximo. Como
g''(x)=-2<0
o gráfico de g é côncavo para baixo, logo x=16 é ponto de máximo local de g e, por extensão, de f. Além disso, por ser quadrática com coeficiente líder negativo, esse ponto é também máximo absoluto.

Resposta

a = 32

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