Determine se
é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função
tal que
.
(a) Qual é esse valor comum?
(b) Explique por que
tem o mesmo valor para as três curvas.
(a) Qual é esse valor comum?
(b) Explique por que
Passo 1
O enunciado define
no domínio .
Precisamos verificar se é conservativo (isto é, se existe
tal que
) e, em caso afirmativo, usar essa função potencial para calcular
nas três curvas que têm os mesmos pontos inicial e final.
no domínio
Precisamos verificar se
nas três curvas que têm os mesmos pontos inicial e final.
Passo 2
Verificamos a condição de campo conservativo em
(simplesmente conexo e com
,
):
Como
,
é conservativo em
.
Passo 3
Procuramos
tal que
Integramos em
:
Agora impomos
daí
e podemos tomar
.
Logo, uma função potencial é
Logo, uma função potencial é
Passo 4
Para qualquer curva
em
que vá de um ponto
até
, a integral de linha é
Esse valor só depende dos pontos inicial e final, não do caminho.
Resposta
A) O valor comum da integral é
B) Porque
é conservativo em
, o domínio é simplesmente conexo e
, logo a integral de linha não depende do caminho.