Determine se F é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y)=(ln y+y / x) i+(ln x+x / y) j
(a) Qual é esse valor comum?
(b) Explique por que integralC F cdot d r tem o mesmo valor para as três curvas.

Passo 1

O enunciado define
F(x,y) = l(ln y + tfracyxr),i + l(ln x + tfracxyr),j
no domínio D=(x,y)mid x>0,;y>0.
Precisamos verificar se F é conservativo (isto é, se existe f tal que nabla f=F) e, em caso afirmativo, usar essa função potencial para calcular
integralC Fcdot dr
nas três curvas que têm os mesmos pontos inicial e final.

Passo 2

Verificamos a condição de campo conservativo em D (simplesmente conexo e com P=ln y+y/x, Q=ln x+x/y):
partial Ppartial y = 1y + partialpartial yl(yxr) = 1y + 1x,
partial Qpartial x = 1x + partialpartial xl(xyr) = 1x + 1y
Como partial P/partial y = partial Q/partial x, F é conservativo em D.

Passo 3

Procuramos f(x,y) tal que
partial fpartial x = P(x,y) = ln y + yx
Integramos em x:
f(x,y) = integrall(ln y + yxr),dx = x,ln y ;+; y,ln x ;+; g(y)
Agora impomos
partial fpartial y = xy + ln x + g'(y) ;stackrel!=; Q(x,y)=ln x + xy,
daí g'(y)=0 e podemos tomar g(y)=constante.
Logo, uma função potencial é
f(x,y) = x,ln y ;+; y,ln x

Passo 4

Para qualquer curva C em D que vá de um ponto A=(x0,y0) até B=(x1,y1), a integral de linha é
integralC Fcdot dr = f(B) - f(A) = l[x1ln y1 + y1ln x1r] - l[x0ln y0 + y0ln x0r]
Esse valor só depende dos pontos inicial e final, não do caminho.

Resposta

A) O valor comum da integral é
f(B)-f(A) = l[x1ln y1 + y1ln x1r] - l[x0ln y0 + y0ln x0r]
B) Porque F é conservativo em D, o domínio é simplesmente conexo e nablatimesF=0, logo a integral de linha não depende do caminho.

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