Determine os seguintes limites.
lim x 2 2 cos (pi x)^2+2 x-6sen(x^2-4)+x-2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto22cos^2(pi x)+2x-6senl(x^2-4r)+x-2
O conteúdo principal aqui é reconhecer a forma indeterminada tfrac00 e aplicar a regra de l\’Hôpital (ou expansão em série) para resolver.

Passo 2

Vamos fazer a substituição direta x=2 para ver a forma:
No numerador
2cos^2(picdot2)+2cdot2-6 =2cdot1+4-6=0,
e no denominador
sen(2^2-4)+(2-2)=sen(0)+0=0
Portanto temos a indeterminação tfrac00, então podemos usar a regra de l\’Hôpital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador separadamente.
Para o numerador N(x)=2cos^2(pi x)+2x-6:
ddxl[2cos^2(pi x)r] =2cdot2cos(pi x),(-sin(pi x)),pi =-4picos(pi x)sin(pi x) =-2pisin(2pi x),
ddx[2x-6]=2
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N'(x)=-2pisin(2pi x)+2
Para o denominador D(x)=sen(x^2-4)+x-2:
ddxl[sen(x^2-4)r] =cos(x^2-4)cdot2x, ddx[x-2]=1,
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D'(x)=2xcos(x^2-4)+1

Passo 4

Aplicando a regra de l\’Hôpital, o limite vale
limxto2N(x)D(x) =limxto2N'(x)D'(x) =-2pisin(2picdot2)+22cdot2cos(2^2-4)+1
Como sin(4pi)=0 e cos(0)=1, isso dá
-2picdot0+24cdot1+1 =25

Resposta

25

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