Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Em caso afirmativo, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y)=(x y+y^2, x^2+2 x y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
F(x,y) = l(P(x,y),,Q(x,y)r) com
P(x,y) = x,y + y^2, Q(x,y) = x^2 + 2,x,y
é conservativo (isto é, se existe uma função f tal que
nabla f = F). Como o domínio natural é todo R^2, que é aberto e simplesmente conexo, podemos usar o teste
partial P/partial y = partial Q/partial x como condição necessária e suficiente.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais cruzadas:
partial Ppartial y = partialpartial yl(x,y + y^2r) = x + 2,y,
partial Qpartial x = partialpartial xl(x^2 + 2,x,yr) = 2,x + 2,y

Passo 3

Como
partial Ppartial y = x + 2,y e partial Qpartial x = 2,x + 2,y,
vemos que
partial P/partial y neq partial Q/partial x em geral. Logo, F não satisfaz o critério de conservatividade.

Resposta

F não é um campo vetorial conservativo.

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