Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo.
F(x, y)=(2 x-x y) i-(-3 x+4 y-8) j

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
F(x,y) = (2x - x y),i -l(-3x + 4y - 8r),j
é conservativo. O conteúdo envolvido é o teste de igualdade das derivadas parciais cruzadas num domínio simplesmente conexo (aqui R^2). Se
F(x,y) = P(x,y),i + Q(x,y),j
e partial P/partial y = partial Q/partial x em todo o domínio, então F é conservativo.

Passo 2

Identificamos as componentes P e Q:
P(x,y) = 2x - x,y, Q(x,y) = -l(-3x + 4y - 8r) = 3x - 4y + 8

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais cruzadas:
partial Ppartial y = partialpartial yl(2x - x,yr) = -x,
partial Qpartial x = partialpartial xl(3x - 4y + 8r) = 3

Passo 4

Como em R^2 (domínio simplesmente conexo) o campo é conservativo se e só se
partial Ppartial y = partial Qpartial x,
e aqui temos -x neq 3 para valores gerais de x, concluímos que F não satisfaz o teste de conservatividade.

Resposta

F não é um campo vetorial conservativo.

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