Ache os valores máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado e indique onde estes valores ocorrem.
f(x)=x^3-3 x-2(-infty,+infty)

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos da função
f(x)=x^3-3x-2
no domínio (-infty,+infty).
Para isso, vamos usar derivadas para achar pontos críticos e depois analisar o comportamento de f quando xtopminfty.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira para encontrar pontos críticos:
f'(x)=ddxl(x^3-3x-2r)=3x^2-3=3(x^2-1)
Então f'(x)=0 iff x^2-1=0 iff x=pm1.

Passo 3

Para classificar cada ponto, podemos usar a segunda derivada:
f''(x)=ddxl(3x^2-3r)=6x
Em x=-1 vale f''(-1)=6(-1)=-6<0, logo há um máximo local em x=-1.
Em x=1 vale f''(1)=6cdot1=6>0, logo há um mínimo local em x=1.

Passo 4

Agora calculamos os valores de f nesses pontos:
f(-1)=(-1)^3-3(-1)-2=-1+3-2=0,
f(1)=1^3-3cdot1-2=1-3-2=-4

Passo 5

Analisamos o fim do domínio:
quando xto+infty, f(x)sim x^3to+infty,
quando xto-infty, f(x)sim x^3to-infty.
Portanto f não se restringe a um valor máximo nem a um valor mínimo finito sobre todo R.

Resposta

A função não possui máximo absoluto nem mínimo absoluto em (-infty,+infty).
Ela tem, porém, um máximo local em x=-1 com f(-1)=0 e um mínimo local em x=1 com f(1)=-4.

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