Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função potencial f tal que \vec{F}=\vec{\nabla} f.
\vec{F}(x, y)=\left(y^{2} \cos x+\cos y\right) \mathbf{i}+(2 y \operatorname{sen} x-x \operatorname{sen} y) \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo \displaystyle \vec{F}(x,y)=\bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr)
com
P(x,y)=y^{2}\cos x+\cos y, \quad Q(x,y)=2y\sin x - x\sin y
é conservativo em \mathbb{R}^2 e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f(x,y) tal que \nabla f=\vec{F}. O conteúdo envolve teste de conservatividade via igualdade de derivadas parciais e integração para achar o potencial.

Passo 2

Para checar conservatividade, calculamos
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}\cos x\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}(\cos y) =2y\cos x-\sin y
e
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2y\sin x\bigr) -\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\sin y\bigr) =2y\cos x-\sin y.
Como \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x em todo \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexo, concluímos que \vec{F} é conservativo.

Passo 3

Agora integramos P em relação a x para obter f(x,y) até uma “constante” que pode depender de y:
f(x,y) =\int \bigl(y^{2}\cos x+\cos y\bigr)\,dx =y^{2}\sin x + x\cos y + C(y).

Passo 4

Para determinar C(y), calculamos
\frac{\partial f}{\partial y} =2y\sin x + x(-\sin y) + C'(y) =2y\sin x - x\sin y + C'(y)
e igualamos a Q(x,y)=2y\sin x - x\sin y. Assim, C'(y)=0 e C(y) é constante.

Resposta

\vec{F} é um campo conservativo em \mathbb{R}^2 e uma função potencial é
f(x,y)=y^{2}\sin x + x\cos y + C,
onde C é constante arbitrária.

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