Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função potencial f tal que \vec{F}=\vec{\nabla} f.
\vec{F}(x, y)=y e^{x} \mathbf{i}+\left(e^{x}+e^{y}\right) \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial em \mathbb{R}^2
\vec{F}(x,y) = y e^{x}\,\mathbf{i} + \bigl(e^{x}+e^{y}\bigr)\,\mathbf{j},
e pede para verificar se \vec{F} é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f tal que \vec{F}=\nabla f. Vamos usar o critério dos diferenciais cruzados e depois integrar para achar f.

Passo 2

Escrevendo P(x,y)=y e^{x} e Q(x,y)=e^{x}+e^{y}, o campo é conservativo em uma região simplesmente conexa se
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial Q}{\partial x}.
Calculamos
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y e^{x}\bigr) =e^{x},
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x}+e^{y}\bigr) =e^{x}.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x e o domínio é \mathbb{R}^2 (simplesmente conexo), \vec{F} é conservativo.

Passo 3

Para achar a potencial f, integramos P em relação a x, mantendo y como constante:
\frac{\partial f}{\partial x}=y e^{x} \quad\Longrightarrow\quad f(x,y)=\int y e^{x}\,dx =y e^{x}+h(y),
onde h(y) é uma função “constante” de integração que depende só de y.

Passo 4

Determinar h(y) impondo \partial f/\partial y=Q. Temos
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y e^{x}+h(y)\bigr) =e^{x}+h'(y)
deve ser igual a
Q(x,y)=e^{x}+e^{y}.
Logo h'(y)=e^{y}, o que implica
h(y)=\int e^{y}\,dy=e^{y}+C,
com C constante.

Passo 5

Portanto, uma função potencial é
f(x,y)=y e^{x}+e^{y}+C,
e de fato \nabla f=\vec{F}.

Resposta

\vec{F} é conservativo e uma função potencial é
f(x,y)=y\,e^{x}+e^{y}+C.

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