Determine se
é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função potencial
tal que
.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial em
e pede para verificar se
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
. Vamos usar o critério dos diferenciais cruzados e depois integrar para achar
.
Passo 2
Escrevendo
e
, o campo é conservativo em uma região simplesmente conexa se
Calculamos
Como
e o domínio é
(simplesmente conexo),
é conservativo.
Passo 3
Para achar a potencial
, integramos
em relação a
, mantendo
como constante:
onde
é uma função “constante” de integração que depende só de
.
Passo 4
Determinar
impondo
. Temos
deve ser igual a
Logo
, o que implica
com
constante.
Passo 5
Portanto, uma função potencial é
e de fato
.