Determine f^{-1}, onde:
f(x)=\frac{2}{x-2}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função inversa de
f(x)=\frac{2}{x-2}.
O conteúdo é “função inversa”: vamos colocar y=f(x), resolver a equação em x e depois trocar x por y.

Passo 2

Definimos
y = \frac{2}{x-2}
e multiplicamos ambos os lados por (x-2) para eliminar o denominador:
y\,(x-2)=2.

Passo 3

Expandindo e isolando x, temos
y\,x - 2y = 2
y\,x = 2 + 2y
x = \frac{2+2y}{y}.
Aqui é importante notar que y\neq0, pois caso contrário não faz sentido o passo de multiplicar por y.

Passo 4

Para obter a inversa, trocamos x e y na expressão acima:
y = \frac{2+2x}{x}.
Depois simplificamos:
y = 2 + \frac{2}{x}.

Resposta

A função inversa é
f^{-1}(x) = 2 + \frac{2}{x},
com domínio x\neq 0.

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