Determine f^{-1}\), onde: \(f(x)= \begin{cases}x^{5}, & x \geq 0 \\\ x^{3}, & -1<x<0 \\\ \frac{1}{2} x-\frac{1}{2}, & x<-1 .\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x^{5}, & x \ge 0,\\\ x^{3}, & -1 < x < 0,\\\ \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}, & x < -1 \end{cases}
e pede f^{-1}. O que precisamos é inverter cada ramo, identificando o intervalo de valores de saída (a “imagem”) de cada parte e expressando x em função de y=f(x).

Passo 2

Analisamos a imagem de cada ramo:
Para x\ge0 vale
y = x^5,
logo y\ge0.
Para -1<x<0 vale
y = x^3,
logo -1<y<0.
Para x<-1 vale
y = \frac12 x - \frac12,
e conforme x vai de -\infty a -1, y vai de -\infty a -1. Assim, f é invertível em cada ramo e cobre os três intervalos y< -1, -1<y<0 e y\ge0.

Passo 3

Em cada caso, resolvemos para x em função de y:
Para y\ge0,
y=x^5\implies x = y^{1/5}.
Para -1<y<0,
y=x^3\implies x = y^{1/3}.
Para y< -1,
y = \frac12 x - \frac12 \implies 2y = x - 1 \implies x = 2y + 1.

Passo 4

Reescrevendo em notação de f^{-1}, trocando y por x na variável independente, obtemos
f^{-1}(x)= \begin{cases} 2x + 1, & x < -1,\\\ x^{1/3}, & -1 < x < 0,\\\ x^{1/5}, & x \ge 0. \end{cases}

Resposta

f^{-1}(x)= \begin{cases} 2x + 1, & x < -1,\\\ x^{1/3}, & -1 < x < 0,\\\ x^{1/5}, & x \ge 0. \end{cases}

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