Determine f^{-1}\), onde: \(f(x)= \begin{cases}(x-1)^{2}+1, & x \geq 1 \\\\ 2 x-3, & x<1 .\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a função inversa de
f(x)= \begin{cases} (x-1)^{2}+1, & x\ge 1,\\\\ 2x-3, & x<1. \end{cases}
Para isso, vamos examinar cada ramo separadamente, verificar sua monotonicidade, obter seu contradomínio e, em seguida, resolver y=f(x) para x.

Passo 2

Considere o ramo f_{1}(x)=(x-1)^{2}+1 com x\ge1. A função (x-1)^{2} é crescente no seu domínio x\ge1, começando em (1-1)^{2}=0. Logo
\text{imagem de }f_{1}=[1,\infty).
Para inverter, escrevemos y=(x-1)^{2}+1 e isolamos x:
(x-1)^{2}=y-1 \quad\Longrightarrow\quad x-1=\sqrt{\,y-1\,}
(raiz positiva pois exigimos x\ge1). Assim
x=1+\sqrt{y-1},
válido para y\ge1.

Passo 3

Agora o ramo f_{2}(x)=2x-3 com x<1. É uma reta de coeficiente positivo, logo estritamente crescente em (-\infty,1). Em x\to-\infty, f_{2}(x)\to-\infty, e em x\to1^{-}, f_{2}(x)\to-1. Portanto
\text{imagem de }f_{2}=(-\infty,-1).
Para inverter, ponha y=2x-3, daí
2x=y+3 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{y+3}{2},
válido para y< -1.

Passo 4

Agora unimos as duas inversas segundo o valor de y. Não há valores de y entre -1 e 1, pois f não atinge essa faixa. Logo

Resposta

f^{-1}(y)= \begin{cases} \dfrac{y+3}{2}, & y< -1,\\[6pt] 1+\sqrt{y-1}, & y\ge 1. \end{cases}]

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