Questão 3 -

O campo elétrico de una ouda plana monocromática no vácuo é dado por
\vec{E}(z, t)=\left(E_{1} \hat{x}+E_{2} \hat{y}\right) e^{i(k z-\omega t)} .
oude \hat{x} e \hat{y} são versores cartesianos nas direções x e y, resplectivamente, e E_{1} e E_{2} são constantes.
a) Encontre a indução magnética \bar{B}(z, t).
b) Mostre que o campo elétrico e a indução magnética são ortogonais entre si.
c) Encontre o vetor de Poynting da onda.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico de uma onda plana monocromática no vácuo:
\vec{E}(z,t)=\big(E_{1}\,\hat{x}+E_{2}\,\hat{y}\big)\,e^{i(kz-\omega t)},
onde \hat{x} e \hat{y} são versores nas direções x e y, e E_{1} e E_{2} são constantes (podem ser complexas, em geral). O enunciado pede, separadamente:
a) encontrar a indução magnética \vec{B}(z,t);
b) mostrar que \vec{E} e \vec{B} são ortogonais entre si;
c) encontrar o vetor de Poynting da onda.
Listei as informações relevantes:
\begin{aligned} &\text{Campo elétrico: }\vec{E}(z,t)=\big(E_{1}\,\hat{x}+E_{2}\,\hat{y}\big)e^{i(kz-\omega t)},\\\ &\text{dependência espacial só em }z,\quad \text{onda propagando ao longo de }\hat{z},\\\ &E_{1},E_{2}\\ \text{são constantes (possivelmente complexas)},\qquad k,\omega\\ \text{dados}. \end{aligned}éêóã
A partir daqui vamos usar as equações de Maxwell apropriadas e o tratamento de ondas harmônicas para obter \vec{B}, verificar ortogonalidade e calcular o Poynting.

Passo 2

Derivação de \vec{B}(z,t) usando a equação de Maxwell (forma rotacional) apropriada:
Aplico a lei de Faraday no vácuo na forma diferencial (valida para campos harmônicos):
\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}.
Explico: \nabla\times\vec{E} é o rotacional do campo elétrico (medindo como o campo “gira”), e -\partial\vec{B}/\partial t é a variação temporal do campo magnético; para campos harmônicos a relação transforma derivadas espaciais/temporais em fatores i k e -i\omega.
Como \vec{E} depende apenas de z e t, calcule o rotacional explicitamente. Escrevo as componentes:
\vec{E}(z,t)=E_{1}e^{i(kz-\omega t)}\hat{x}+E_{2}e^{i(kz-\omega t)}\hat{y}.
O rotacional em coordenadas cartesianas, sabendo que \partial/\partial x=\partial/\partial y=0 para este campo, dá
\nabla\times\vec{E}=\big(-\partial_{z}E_{y}\big)\hat{x}+\big(\partial_{z}E_{x}\big)\hat{y}.
Como \partial_{z}e^{i(kz-\omega t)}=i k e^{i(kz-\omega t)}, obtemos
\nabla\times\vec{E}=\big(-i k E_{2}e^{i(kz-\omega t)}\big)\hat{x}+\big(i k E_{1}e^{i(kz-\omega t)}\big)\hat{y}.
Agora a derivada temporal de um campo com fator e^{i(kz-\omega t)} é \partial_{t}(\cdots) = -i\omega(\cdots). Assim
-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}= \nabla\times\vec{E}\quad\Longrightarrow\quad i\omega\vec{B}=\nabla\times\vec{E}.
Isolando \vec{B}:
\vec{B}=\frac{1}{i\omega}\nabla\times\vec{E}.
Substituo o rotacional calculado:
\vec{B}(z,t)=\frac{1}{i\omega}\Big[-i k E_{2}\hat{x}+i k E_{1}\hat{y}\Big]e^{i(kz-\omega t)}.
Simplificando os fatores i:
\vec{B}(z,t)=\frac{k}{\omega}\big(-E_{2}\,\hat{x}+E_{1}\,\hat{y}\big)e^{i(kz-\omega t)}.
Podemos relacionar \dfrac{k}{\omega} com a velocidade de fase no vácuo c: em vácuo \omega/k=c, logo k/\omega=1/c. Assim é comum escrever
\boxed{\vec{B}(z,t)=\frac{1}{c}\big(-E_{2}\,\hat{x}+E_{1}\,\hat{y}\big)e^{i(kz-\omega t)}.}
Esta é a expressão de \vec{B} (ainda no formalismo fasorial/complexo). Observação: a direção de \vec{B} é obtida por \vec{B}=(1/\omega)\,\vec{k}\times\vec{E}, com \vec{k}=k\hat{z}, que dá o mesmo resultado.

Passo 3

Mostro que \vec{E} e \vec{B} são ortogonais:
Uso as expressões encontradas:
\vec{E}=(E_{1}\hat{x}+E_{2}\hat{y})e^{i(kz-\omega t)},\qquad \vec{B}=\frac{k}{\omega}(-E_{2}\hat{x}+E_{1}\hat{y})e^{i(kz-\omega t)}.
Calculo o produto escalar:
\vec{E}\cdot\vec{B}=\frac{k}{\omega}\big(E_{1}(-E_{2})+E_{2}E_{1}\big)e^{2i(kz-\omega t)}.
Dentro dos parênteses temos -E_{1}E_{2}+E_{2}E_{1}=0. Portanto
\vec{E}\cdot\vec{B}=0.
Isto prova que \vec{E} e \vec{B} são ortogonais instantaneamente (no formalismo fasorial a combinação complexa também zera o produto escalar). Além disso ambos têm componentes apenas em x e y, ou seja, são perpendiculares à direção de propagação \hat{z}.

Passo 4

Encontro o vetor de Poynting. Primeiro explico a definição e como tratá-la no formalismo complexo:
  • O vetor de Poynting instantâneo (para campos reais) é \vec{S}(t)=\dfrac{1}{\mu_{0}}\vec{E}_{\text{real}}(t)\times\vec{B}_{\text{real}}(t).
  • No formalismo fasorial (quando usamos campos complexos \vec{E}e^{i(kz-\omega t)}) a quantidade fisicamente mensurável é o valor médio temporal do vetor de Poynting. A média temporal (sobre um período) é dada por
\langle\vec{S}\rangle=\frac{1}{2\mu_{0}}\Re\!\big(\vec{E}\times\vec{B}^{*}\big),
onde \vec{B}^{*} é o conjugado complexo de \vec{B} e \Re significa parte real. Eu uso esta fórmula porque o enunciado deu os campos na forma e^{i(kz-\omega t)}.
Calculo \vec{E}\times\vec{B}^{*}. Como \vec{E}=(E_{1}\hat{x}+E_{2}\hat{y})e^{i(kz-\omega t)} e \vec{B}=\dfrac{k}{\omega}(-E_{2}\hat{x}+E_{1}\hat{y})e^{i(kz-\omega t)}, seu conjugado é
\vec{B}^{*}=\frac{k}{\omega}\big(-E_{2}^{*}\hat{x}+E_{1}^{*}\hat{y}\big)e^{-i(kz-\omega t)}.
Multiplicando,
\vec{E}\times\vec{B}^{*}=\frac{k}{\omega}\big(E_{1}E_{1}^{*}+E_{2}E_{2}^{*}\big)\hat{z}.
Aqui usei \hat{x}\times\hat{y}=\hat{z} e \hat{y}\times\hat{x}=-\hat{z}; as exponenciais se cancelam (e^{i\cdot}e^{-i\cdot}=1). Note que E_{1}E_{1}^{*}=|E_{1}|^{2} e E_{2}E_{2}^{*}=|E_{2}|^{2}, números reais não-negativos.
Portanto a média temporal do vetor de Poynting é
\langle\vec{S}\rangle=\frac{1}{2\mu_{0}}\Re\!\Big(\frac{k}{\omega}(|E_{1}|^{2}+|E_{2}|^{2})\hat{z}\Big).
Isso é real já, então
\langle\vec{S}\rangle=\frac{k}{2\mu_{0}\omega}\big(|E_{1}|^{2}+|E_{2}|^{2}\big)\hat{z}.
Usando k/\omega=1/c e c=1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}} podemos também escrever
\langle\vec{S}\rangle=\frac{1}{2\mu_{0}c}\big(|E_{1}|^{2}+|E_{2}|^{2}\big)\hat{z}.
Para fixar a intuição: se a polarização for linear apenas em x (ou seja E_{2}=0), a expressão reduz-se ao caso familiar \langle\vec{S}\rangle=(1/2\mu_{0}c)|E_{1}|^{2}\hat{z}.

Resposta

\vec{B}(z,t)=\dfrac{k}{\omega}\big(-E_{2}\,\hat{x}+E_{1}\,\hat{y}\big)e^{i(kz-\omega t)}=\dfrac{1}{c}\big(-E_{2}\,\hat{x}+E_{1}\,\hat{y}\big)e^{i(kz-\omega t)}\n
\vec{E}\cdot\vec{B}=0 (logo \vec{E} e \vec{B} são ortogonais)\n
\langle\vec{S}\rangle=\dfrac{k}{2\mu_{0}\omega}\big(|E_{1}|^{2}+|E_{2}|^{2}\big)\hat{z}=\dfrac{1}{2\mu_{0}c}\big(|E_{1}|^{2}+|E_{2}|^{2}\big)\hat{z}

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