Questão 3 -
O campo elétrico de una ouda plana monocromática no vácuo é dado por
oude
e
são versores cartesianos nas direções
e
, resplectivamente, e
e
são constantes.
a) Encontre a indução magnética
.
b) Mostre que o campo elétrico e a indução magnética são ortogonais entre si.
c) Encontre o vetor de Poynting da onda.
a) Encontre a indução magnética
b) Mostre que o campo elétrico e a indução magnética são ortogonais entre si.
c) Encontre o vetor de Poynting da onda.
Passo 1
O enunciado dá o campo elétrico de uma onda plana monocromática no vácuo:
onde
e
são versores nas direções
e
, e
e
são constantes (podem ser complexas, em geral). O enunciado pede, separadamente:
a) encontrar a indução magnética ;
b) mostrar que e
são ortogonais entre si;
c) encontrar o vetor de Poynting da onda.
a) encontrar a indução magnética
b) mostrar que
c) encontrar o vetor de Poynting da onda.
Listei as informações relevantes:
A partir daqui vamos usar as equações de Maxwell apropriadas e o tratamento de ondas harmônicas para obter
, verificar ortogonalidade e calcular o Poynting.
Passo 2
Derivação de
usando a equação de Maxwell (forma rotacional) apropriada:
Aplico a lei de Faraday no vácuo na forma diferencial (valida para campos harmônicos):
Aplico a lei de Faraday no vácuo na forma diferencial (valida para campos harmônicos):
Explico:
é o rotacional do campo elétrico (medindo como o campo “gira”), e
é a variação temporal do campo magnético; para campos harmônicos a relação transforma derivadas espaciais/temporais em fatores
e
.
Como
depende apenas de
e
, calcule o rotacional explicitamente. Escrevo as componentes:
O rotacional em coordenadas cartesianas, sabendo que
para este campo, dá
Como
, obtemos
Agora a derivada temporal de um campo com fator
é
. Assim
Isolando
:
Substituo o rotacional calculado:
Simplificando os fatores
:
Podemos relacionar
com a velocidade de fase no vácuo
: em vácuo
, logo
. Assim é comum escrever
Esta é a expressão de
(ainda no formalismo fasorial/complexo). Observação: a direção de
é obtida por
, com
, que dá o mesmo resultado.
Passo 3
Mostro que
e
são ortogonais:
Uso as expressões encontradas:
Uso as expressões encontradas:
Calculo o produto escalar:
Dentro dos parênteses temos
. Portanto
Isto prova que
e
são ortogonais instantaneamente (no formalismo fasorial a combinação complexa também zera o produto escalar). Além disso ambos têm componentes apenas em
e
, ou seja, são perpendiculares à direção de propagação
.
Passo 4
Encontro o vetor de Poynting. Primeiro explico a definição e como tratá-la no formalismo complexo:
- O vetor de Poynting instantâneo (para campos reais) é
. - No formalismo fasorial (quando usamos campos complexos
) a quantidade fisicamente mensurável é o valor médio temporal do vetor de Poynting. A média temporal (sobre um período) é dada por
onde
é o conjugado complexo de
e
significa parte real. Eu uso esta fórmula porque o enunciado deu os campos na forma
.
Calculo
. Como
e
, seu conjugado é
Multiplicando,
Aqui usei
e
; as exponenciais se cancelam
. Note que
e
, números reais não-negativos.
Portanto a média temporal do vetor de Poynting é
Isso é real já, então
Usando
e
podemos também escrever
Para fixar a intuição: se a polarização for linear apenas em
(ou seja
), a expressão reduz-se ao caso familiar
.