Use um Critério de Comparação para determinar a natureza das séries abaixo:
(m)
(m)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série
usando um critério de comparação, ou seja, comparando com uma série-padrão cuja natureza (convergente ou divergente) a gente já conhece. Vamos ver que aqui o comportamento principal do termo geral lembra a série harmônica.
Passo 2
Para entender melhor, observamos o comportamento de
quando
fica grande. Note que
é da ordem de
e
é da ordem de
. Logo, assimptoticamente
Passo 3
Para aplicar o teste de comparação direta, nota-se que, para
, temos
. Assim
$$a_n = \frac{2n + n2}{n3 + 1} \ge \frac{n2}{n3 + 1} \ge \frac{n2}{2n3} = \frac1{2n}.
$$
Passo 4
Como
é a série harmônica (que diverge), pelo critério da comparação direta concluímos que a série dada também diverge.
Resposta
A série diverge.