Use um Critério de Comparação para determinar a natureza das séries abaixo:
(m) sumn=1^infty 2 n+n^2n^3+1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série sumn=1^infty 2n + n^2n^3 + 1 usando um critério de comparação, ou seja, comparando com uma série-padrão cuja natureza (convergente ou divergente) a gente já conhece. Vamos ver que aqui o comportamento principal do termo geral lembra a série harmônica.

Passo 2

Para entender melhor, observamos o comportamento de an = 2n + n^2n^3 + 1 quando n fica grande. Note que 2n + n^2 é da ordem de n^2 e n^3 + 1 é da ordem de n^3. Logo, assimptoticamente
an sim n^2n^3 = 1n

Passo 3

Para aplicar o teste de comparação direta, nota-se que, para n>=1, temos n^3 + 1 <= 2n^3. Assim
$$a_n = \frac{2n + n2}{n3 + 1} \ge \frac{n2}{n3 + 1} \ge \frac{n2}{2n3} = \frac1{2n}.
$$

Passo 4

Como sumn=1^infty 12n = tfrac12sumn=1^infty 1n é a série harmônica (que diverge), pelo critério da comparação direta concluímos que a série dada também diverge.

Resposta

A série diverge.

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