Determine
.
Passo 1
O enunciado dá a derivada de uma função e um valor inicial e pede para determinar a função original. Informações relevantes:
- Foi dado
para . - Foi dada a condição inicial
. - A pergunta é: determinar
, ou seja, encontrar uma expressão explícita para que satisfaça a derivada e a condição inicial.
Passo 2
Ideia-chave (sem resolver ainda): para recuperar
a partir de
usamos antiderivação (integração indefinida). Se
, então
onde
é uma constante. A integral é linear: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes saem da integral.
Passo 3
Primeiro termo: integrar
. Usamos a regra da potência para integrais: para
,
Aplicando com
e lembrando da constante multiplicativa
,
Expliquei cada passo: multiplica-se pela constante
e divide-se pelo novo expoente
.
Passo 4
Segundo termo: integrar
. Este é o caso especial
da potência, cuja integral não segue a fórmula anterior; em vez disso,
quando consideramos
. Aqui o domínio
do enunciado garante que podemos usar o logaritmo natural sem problemas (o logaritmo natural está definido para argumentos positivos).
Passo 5
Somando as integrais (linha por linha, pela linearidade) obtemos a antiderivada geral:
onde
é uma constante real desconhecida a ser determinada pela condição inicial.
Passo 6
Usamos a condição inicial
para achar
. Substituindo
na expressão geral:
Calculando
e
, temos
Passo 7
Verificação rápida por derivação: se tomarmos a função com constante
(antes de fixar
),
derivando termo a termo obtemos
pois
,
e
. Isso bate com a derivada dada. Substituindo
obtém-se a função que satisfaz também
. Dica para prova: sempre verifique domínio (aqui
permite
) e use a condição inicial para fixar a constante.
Passo 8
Recapitulando passo a passo que vale a pena decorar para a prova:
- Para achar
de , integre e acrescente . - Use a regra da potência para termos
com . - Use
quando . - Use a condição inicial para determinar
. - Verifique derivando a resposta final.