Determine f.
f^{\prime}(x)=8 x^{3}+\frac{1}{x}, x>0, f(1)=-3

Passo 1

O enunciado dá a derivada de uma função e um valor inicial e pede para determinar a função original. Informações relevantes:
  • Foi dado f^{\prime}(x)=8x^{3}+\dfrac{1}{x} para x>0.
  • Foi dada a condição inicial f(1)=-3.
  • A pergunta é: determinar f, ou seja, encontrar uma expressão explícita para f(x) que satisfaça a derivada e a condição inicial.

Passo 2

Ideia-chave (sem resolver ainda): para recuperar f a partir de f^{\prime} usamos antiderivação (integração indefinida). Se f^{\prime}(x)=g(x), então
f(x)=\int g(x)\,dx + C,
onde C é uma constante. A integral é linear: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes saem da integral.

Passo 3

Primeiro termo: integrar 8x^{3}. Usamos a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}.
Aplicando com n=3 e lembrando da constante multiplicativa 8,
\int 8x^{3}\,dx = 8\cdot\frac{x^{4}}{4}=2x^{4}.
Expliquei cada passo: multiplica-se pela constante 8 e divide-se pelo novo expoente 4.

Passo 4

Segundo termo: integrar \dfrac{1}{x}. Este é o caso especial n=-1 da potência, cuja integral não segue a fórmula anterior; em vez disso,
\int \frac{1}{x}\,dx=\ln x,
quando consideramos x>0. Aqui o domínio x>0 do enunciado garante que podemos usar o logaritmo natural sem problemas (o logaritmo natural está definido para argumentos positivos).

Passo 5

Somando as integrais (linha por linha, pela linearidade) obtemos a antiderivada geral:
f(x)=2x^{4}+\ln x + C,
onde C é uma constante real desconhecida a ser determinada pela condição inicial.

Passo 6

Usamos a condição inicial f(1)=-3 para achar C. Substituindo x=1 na expressão geral:
2\cdot 1^{4}+\ln 1 + C = -3.
Calculando \ln 1=0 e 1^{4}=1, temos
2 + 0 + C = -3 \quad\Rightarrow\quad C=-5.

Passo 7

Verificação rápida por derivação: se tomarmos a função com constante C (antes de fixar C),
f(x)=2x^{4}+\ln x + C,
derivando termo a termo obtemos
f^{\prime}(x)=8x^{3}+\frac{1}{x},
pois \dfrac{d}{dx}(2x^{4})=8x^{3}, \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x} e \dfrac{d}{dx}\text{(C)}=0. Isso bate com a derivada dada. Substituindo C=-5 obtém-se a função que satisfaz também f(1)=-3. Dica para prova: sempre verifique domínio (aqui x>0 permite \ln x) e use a condição inicial para fixar a constante.

Passo 8

Recapitulando passo a passo que vale a pena decorar para a prova:
  • Para achar f de f^{\prime}, integre f^{\prime} e acrescente +C.
  • Use a regra da potência para termos x^{n} com n\neq -1.
  • Use \int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln x quando x>0.
  • Use a condição inicial para determinar C.
  • Verifique derivando a resposta final.

Resposta

f(x)=2x^{4}+\ln x-5

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