Determine f.
f^{\prime}(t)=(3+3 t) / \sqrt{t}, f(1)=5

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá que f'(t)=\dfrac{3+3t}{\sqrt{t}}.
  • Dá a condição inicial f(1)=5.
  • Pede determinar a função f (ou seja, encontrar f(t) para t no domínio apropriado).
Informação importante sobre domínio: a expressão \sqrt{t} aparece no denominador, então precisamos de t>0 para que a derivada esteja bem definida aqui.

Passo 2

Reescrever a derivada numa forma mais simples para integrar:
f'(t)=\frac{3+3t}{\sqrt{t}}=3\frac{1+t}{\sqrt{t}}=3\!\left(\frac{1}{\sqrt{t}}+\frac{t}{\sqrt{t}}\right).
Agora escrevemos as potências:
\frac{1}{\sqrt{t}}=t^{-1/2},\qquad \frac{t}{\sqrt{t}}=t^{1/2}.
Logo
f'(t)=3\bigl(t^{-1/2}+t^{1/2}\bigr).

Passo 3

Regra de integração que vamos usar (explicando devagarinho):
  • A regra do “expoente” (power rule) diz que, para qualquer número n\neq -1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{\,n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração (porque a primitiva não é única).
  • Aqui n é o expoente da potência de t. Vamos aplicar essa regra termo a termo em t^{-1/2} e t^{1/2}.

Passo 4

Integramos f'(t) termo a termo:
f(t)=\int f'(t)\,dt=\int 3\bigl(t^{-1/2}+t^{1/2}\bigr)\,dt.
Fatoramos o 3:
f(t)=3\int \bigl(t^{-1/2}+t^{1/2}\bigr)\,dt.
Agora integramos cada potência usando a regra do passo anterior.
Para t^{-1/2}: aqui n=-\tfrac{1}{2}, então
\int t^{-1/2}\,dt=\frac{t^{-1/2+1}}{-1/2+1}=\frac{t^{1/2}}{1/2}=2t^{1/2}.
Multiplicando pelo 3 3\cdot 2t^{1/2}=6t^{1/2}.
Para t^{1/2}: aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int t^{1/2}\,dt=\frac{t^{1/2+1}}{1/2+1}=\frac{t^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}t^{3/2}.
Multiplicando pelo 3 3\cdot \frac{2}{3}t^{3/2}=2t^{3/2}.
Somando e lembrando da constante C,
f(t)=6t^{1/2}+2t^{3/2}+C.
Em palavras: f(t)=6\sqrt{t}+2t^{3/2}+C.

Passo 5

Usar a condição inicial f(1)=5 para achar C:
f(1)=6\cdot 1^{1/2}+2\cdot 1^{3/2}+C=6+2+C=8+C.
Como f(1)=5, temos 8+C=5, logo C=-3.

Passo 6

Concluir a fórmula de f e verificar rapidamente:
f(t)=6t^{1/2}+2t^{3/2}-3.
Verificação (opcional, mas bom para ficar seguro): derivando,
f'(t)=6\cdot\frac{1}{2}t^{-1/2}+2\cdot\frac{3}{2}t^{1/2}=3t^{-1/2}+3t^{1/2}=\frac{3+3t}{\sqrt{t}},
que é exatamente o que o enunciado deu. Tudo consistente para t>0.

Resposta

f(t)=6\sqrt{t}+2t^{3/2}-3

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