Determine
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá que
. - Dá a condição inicial
. - Pede determinar a função
(ou seja, encontrar para no domínio apropriado).
Informação importante sobre domínio: a expressão
aparece no denominador, então precisamos de
para que a derivada esteja bem definida aqui.
Passo 2
Reescrever a derivada numa forma mais simples para integrar:
Agora escrevemos as potências:
Logo
Passo 3
Regra de integração que vamos usar (explicando devagarinho):
- A regra do “expoente” (power rule) diz que, para qualquer número
,
onde
é a constante de integração (porque a primitiva não é única).
- Aqui
é o expoente da potência de . Vamos aplicar essa regra termo a termo em e .
Passo 4
Integramos
termo a termo:
Fatoramos o
:
Agora integramos cada potência usando a regra do passo anterior.
Para
: aqui
, então
Multiplicando pelo
dá
.
Para
: aqui
, então
Multiplicando pelo
dá
.
Somando e lembrando da constante
,
Em palavras:
.
Passo 5
Usar a condição inicial
para achar
:
Como
, temos
, logo
.
Passo 6
Concluir a fórmula de
e verificar rapidamente:
Verificação (opcional, mas bom para ficar seguro): derivando,
que é exatamente o que o enunciado deu. Tudo consistente para
.