Determine f.
f^{\prime}(t)=\frac{4}{3} \sqrt[3]{t}-\cos (t), f(\pi)=0

Passo 1

O enunciado dá a derivada de uma função f e uma condição no ponto t=\pi. Pergunta: determinar f.\n
Informações relevantes fornecidas:
f'(t)=\frac{4}{3}\sqrt[3]{t}-\cos(t)
f(\pi)=0

Passo 2

Para encontrar f a partir de f' precisamos integrar f'(t) em relação a t. Escrevendo a raiz cúbica como potência, temos
f'(t)=\frac{4}{3}t^{1/3}-\cos(t).
Portanto vamos calcular a primitiva (antiderivada)
\int f'(t)\,dt=\int\left(\frac{4}{3}t^{1/3}-\cos(t)\right)dt.
Lembre-se: a integral indefinida dá a função f(t) mais uma constante de integração C.

Passo 3

Vamos integrar o primeiro termo usando a regra da potência. Regra da potência para integrais: se \alpha\neq -1, então
\int t^{\alpha}\,dt=\frac{t^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C.
Aqui \alpha=\tfrac{1}{3}, então \alpha+1=\tfrac{4}{3}. Aplicando a regra:
\int \frac{4}{3}t^{1/3}\,dt=\frac{4}{3}\cdot\frac{t^{4/3}}{4/3}.
Note que \frac{4}{3}\cdot\frac{1}{4/3}=1, portanto a expressão simplifica para
\int \frac{4}{3}t^{1/3}\,dt=t^{4/3}.
É uma simplificação bonita e útil: o fator \frac{4}{3} cancela com o denominador da regra da potência.

Passo 4

Agora a integral do segundo termo. Sabendo que a derivada de \sin(t) é \cos(t), temos
\int -\cos(t)\,dt=-\sin(t)+C.
Juntando com o resultado do primeiro termo, a primitiva geral é
f(t)=t^{4/3}-\sin(t)+C,
onde C é a constante de integração a ser determinada pela condição inicial.

Passo 5

Usamos a condição dada f(\pi)=0. Substituindo t=\pi em f(t):
0=f(\pi)=\pi^{4/3}-\sin(\pi)+C.
Sabemos que \sin(\pi)=0, então isso vira
0=\pi^{4/3}+C.
Assim
C=-\pi^{4/3}.

Passo 6

Substituindo C em f(t) obtemos a função procurada:
f(t)=t^{4/3}-\sin(t)-\pi^{4/3}.
Como verificação rápida (opcional): derivando termoa termo,
f'(t)=\frac{4}{3}t^{1/3}-\cos(t),
que coincide com a derivada dada no enunciado, e f(\pi)=\pi^{4/3}-0-\pi^{4/3}=0, ou seja, satisfaz a condição inicial.

Resposta

f(t)=t^{4/3}-\sin(t)-\pi^{4/3}

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