Determine
.
Passo 1
O enunciado dá a derivada de uma função
e uma condição no ponto
. Pergunta: determinar
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Para encontrar
a partir de
precisamos integrar
em relação a
. Escrevendo a raiz cúbica como potência, temos
Portanto vamos calcular a primitiva (antiderivada)
Lembre-se: a integral indefinida dá a função
mais uma constante de integração
.
Passo 3
Vamos integrar o primeiro termo usando a regra da potência. Regra da potência para integrais: se
, então
Aqui
, então
. Aplicando a regra:
Note que
, portanto a expressão simplifica para
É uma simplificação bonita e útil: o fator
cancela com o denominador da regra da potência.
Passo 4
Agora a integral do segundo termo. Sabendo que a derivada de
é
, temos
Juntando com o resultado do primeiro termo, a primitiva geral é
onde
é a constante de integração a ser determinada pela condição inicial.
Passo 5
Usamos a condição dada
. Substituindo
em
:
Sabemos que
, então isso vira
Assim
Passo 6
Substituindo
em
obtemos a função procurada:
Como verificação rápida (opcional): derivando termoa termo,
que coincide com a derivada dada no enunciado, e
, ou seja, satisfaz a condição inicial.