Seja o campo vetorial
dado por
. Seja
a superficie dada por
com
e com vetor normal orientado para fora. A partir da definiçâo de integral de superficie de campo vetorial, calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre calcular a integral de superfície de um campo vetorial. Especificamente, temos um campo vetorial $ F(x, y, z) = (x, 2y, 3z) $ e uma superfície $ S $ definida por $ z = 1 - \sqrt{x^2 + y^2} $ com $ 0 \leq z \leq \frac{1}{2} $. Nosso objetivo é calcular a integral $ \iint_{S} (F \cdot n) , ds $, onde $ n $ é o vetor normal à superfície orientado para fora. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais de superfície e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície $ S $. A equação $ z = 1 - \sqrt{x^2 + y^2} $ representa um cone invertido, e estamos considerando apenas a parte desse cone onde $ z $ vai de 0 a $ \frac{1}{2} $. Para calcular a integral de superfície, precisamos parametrizar a superfície e encontrar o vetor normal $ n $.
Passo 3
Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a parametrização, já que a superfície tem simetria radial. Em coordenadas cilíndricas, $ x = r \cos \theta $, $ y = r \sin \theta $, e $ z = z $. A equação da superfície fica $ z = 1 - r $, onde $ r = \sqrt{x^2 + y^2} $. Assim, podemos parametrizar $ S $ como:
onde $ r $ varia de 0 a $ \frac{1}{2} $ (já que $ z \geq \frac{1}{2} $) e $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície, que são as derivadas parciais de $ \vec{r} $ em relação a $ r $ e $ \theta $:
O vetor normal $ n $ pode ser obtido pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
Passo 5
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
Como $ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 $.
Passo 6
O próximo passo é calcular o módulo do vetor normal e o elemento de área $ ds $. O elemento de área em coordenadas cilíndricas é dado por:
Calculando $ |\vec{n}| $:
Então:
Passo 7
Agora, precisamos calcular $ F \cdot n $. Substituindo as coordenadas parametrizadas na função $ F $:
E já temos $ \vec{n} = (r \cos \theta, r \sin \theta, r) $. O produto escalar é:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos substituir tudo na integral de superfície:
Distribuindo $ \sqrt{2} r $:
Simplificando os termos:
Passo 9
Agora, vamos integrar em relação a $ r $ primeiro:
Isso resulta em:
Calculando:
Passo 10
Agora, substituímos de volta na integral:
Simplificando:
Passo 11
Calculando as integrais separadamente:
- $ \int_{0}^{2\pi} \cos^2 \theta , d\theta = \pi $
- $ \int_{0}^{2\pi} \sin^2 \theta , d\theta = \pi $
- $ \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi $
Substituindo:
Resposta
A integral de superfície $ \iint_{S} (F \cdot n) , ds $ é igual a $ \frac{\sqrt{2} \pi}{4} $.