Seja o campo vetorial F: R^3 R^3 dado por F(x, y1 z)=(x, 2 y, 3 z). Seja S a superficie dada por z=1-raizx^2+y^2 com 0 <= z <= 1 / 2 e com vetor normal orientado para fora. A partir da definiçâo de integral de superficie de campo vetorial, calcule
integral duplaS(F cdot n) d s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre calcular a integral de superfície de um campo vetorial. Especificamente, temos um campo vetorial $ F(x, y, z) = (x, 2y, 3z) $ e uma superfície $ S $ definida por $ z = 1 - \sqrt{x^2 + y^2} $ com $ 0 \leq z \leq \frac{1}{2} $. Nosso objetivo é calcular a integral $ \iint_{S} (F \cdot n) , ds $, onde $ n $ é o vetor normal à superfície orientado para fora. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais de superfície e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície $ S $. A equação $ z = 1 - \sqrt{x^2 + y^2} $ representa um cone invertido, e estamos considerando apenas a parte desse cone onde $ z $ vai de 0 a $ \frac{1}{2} $. Para calcular a integral de superfície, precisamos parametrizar a superfície e encontrar o vetor normal $ n $.

Passo 3

Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a parametrização, já que a superfície tem simetria radial. Em coordenadas cilíndricas, $ x = r \cos \theta $, $ y = r \sin \theta $, e $ z = z $. A equação da superfície fica $ z = 1 - r $, onde $ r = \sqrt{x^2 + y^2} $. Assim, podemos parametrizar $ S $ como:
x = r cos theta
onde $ r $ varia de 0 a $ \frac{1}{2} $ (já que $ z \geq \frac{1}{2} $) e $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os vetores tangentes à superfície, que são as derivadas parciais de $ \vec{r} $ em relação a $ r $ e $ \theta $:
r
r
O vetor normal $ n $ pode ser obtido pelo produto vetorial desses vetores tangentes:
theta

Passo 5

Calculando o produto vetorial:
n = i & j & k cos theta & sin theta & -1 - r sin theta & r cos theta & 0 = ( ( sin theta cdot 0 ) - ( -1 cdot r cos theta ), ; ( -1 cdot (-r sin theta ) ) - ( cos theta cdot 0 ), ; ( cos theta cdot r cos theta ) - ( sin theta cdot (- r sin theta ) ) )
Simplificando:
n = ( r cos theta, r sin theta, r (cos^2 theta + sin^2 theta) ) = ( r cos theta, r sin theta, r )
Como $ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 $.

Passo 6

O próximo passo é calcular o módulo do vetor normal e o elemento de área $ ds $. O elemento de área em coordenadas cilíndricas é dado por:
ds
Calculando $ |\vec{n}| $:
ds = |n| , dr , dtheta
Então:
|n|

Passo 7

Agora, precisamos calcular $ F \cdot n $. Substituindo as coordenadas parametrizadas na função $ F $:
F cdot n
E já temos $ \vec{n} = (r \cos \theta, r \sin \theta, r) $. O produto escalar é:
F
Simplificando:
F(x, y, z) = (x, 2y, 3z) = (r cos theta, 2 r sin theta, 3 (1 - r))

Passo 8

Agora, vamos substituir tudo na integral de superfície:
integral duplaS (F cdot n) , ds = integral0^2pi integral0^12 [ r^2 (cos^2 theta + 2 sin^2 theta) + 3 r - 3 r^2 ] cdot raiz2 r , dr , dtheta
Distribuindo $ \sqrt{2} r $:
raiz2 r
Simplificando os termos:
= raiz2 integral0^2pi integral0^12 [ r^3 (cos^2 theta + 2 sin^2 theta) + 3 r^2 - 3 r^3 ] , dr , dtheta

Passo 9

Agora, vamos integrar em relação a $ r $ primeiro:
r
Isso resulta em:
integral0^12 [ r^3 (cos^2 theta + 2 sin^2 theta - 3) + 3 r^2 ] , dr
Calculando:
[ r^44 (cos^2 theta + 2 sin^2 theta - 3) + r^3 ]0^12 = (12)^44 (cos^2 theta + 2 sin^2 theta - 3) + (12)^3

Passo 10

Agora, substituímos de volta na integral:
raiz2 integral0^2pi [ 164 (cos^2 theta + 2 sin^2 theta - 3) + 18 ] dtheta
Simplificando:
= raiz2 [ 164 integral0^2pi (cos^2 theta + 2 sin^2 theta - 3) , dtheta + 18 integral0^2pi dtheta ]

Passo 11

Calculando as integrais separadamente:
  1. $ \int_{0}^{2\pi} \cos^2 \theta , d\theta = \pi $
  2. $ \int_{0}^{2\pi} \sin^2 \theta , d\theta = \pi $
  3. $ \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi $
Substituindo:
integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = pi

Resposta

A integral de superfície $ \iint_{S} (F \cdot n) , ds $ é igual a $ \frac{\sqrt{2} \pi}{4} $.

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