Mostre que cada função dos Exercícios 73-80 satisfaz uma equação de Laplace.
f(x, y, z)=e^3 x+4 y cos 5 z

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f(x,y,z)=e^3x+4ycos5z satisfaz a equação de Laplace, ou seja, que o laplaciano nabla^2f=0. Vamos usar derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 2

Vamos calcular partial^2fpartial x^2. Primeiro,
partial fpartial x=3e^3x+4ycos5z.
Derivando novamente em relação a x:
partial^2 fpartial x^2=9e^3x+4ycos5z=9f

Passo 3

Agora calculamos partial^2fpartial y^2. Primeiro,
partial fpartial y=4e^3x+4ycos5z.
Derivando outra vez em relação a y:
partial^2 fpartial y^2=16e^3x+4ycos5z=16f

Passo 4

Por fim, calculamos partial^2fpartial z^2. Primeiro,
partial fpartial z=-5e^3x+4ysin5z.
Derivando novamente em relação a z:
partial^2 fpartial z^2=-25e^3x+4ycos5z=-25f

Passo 5

Somando as três segundas derivadas parciais temos
nabla^2f=partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2=9f+16f-25f=0

Resposta

A função f(x,y,z)=e^3x+4ycos5z satisfaz a equação de Laplace, pois nabla^2f=0.

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