Mostre que cada função dos Exercícios 73-80 satisfaz uma equação de Laplace.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
satisfaz a equação de Laplace, ou seja, que o laplaciano
. Vamos usar derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 2
Vamos calcular
. Primeiro,
.
Derivando novamente em relação a :
Derivando novamente em relação a
Passo 3
Agora calculamos
. Primeiro,
.
Derivando outra vez em relação a :
Derivando outra vez em relação a
Passo 4
Por fim, calculamos
. Primeiro,
.
Derivando novamente em relação a :
Derivando novamente em relação a
Passo 5
Somando as três segundas derivadas parciais temos
Resposta
A função
satisfaz a equação de Laplace, pois
.