Determine f.
f^{\prime \prime}(x)=4 x^{3}+24 x-1

Passo 1

O enunciado dá a segunda derivada f''(x)=4x^{3}+24x-1 e pede para determinar f. Informações relevantes que temos:
\,f''(x)=4x^{3}+24x-1.
Não foram fornecidas condições iniciais (valores de f ou f' em pontos específicos), portanto a solução será a antiderivada geral contendo duas constantes arbitrárias que surgem das integrais.

Passo 2

Para obter f'(x) precisamos integrar f''(x) uma vez. Vou lembrar a regra básica de antiderivadas que usamos aqui: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}.
Exemplo rápido: \int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
Também vale a regra do fator constante: \int a\cdot g(x)\,dx=a\int g(x)\,dx.
Aplicando termo a termo em \,f''(x)=4x^{3}+24x-1:
\int 4x^{3}\,dx = 4\cdot\frac{x^{4}}{4}=x^{4},
\int 24x\,dx = 24\cdot\frac{x^{2}}{2}=12x^{2},
\int (-1)\,dx = -x.
Somando e incluindo a constante de integração (chamaremos de C_{1}), obtemos
f'(x)=x^{4}+12x^{2}-x+C_{1}.

Passo 3

Verificação rápida (boa prática): ao diferenciar f'(x) encontramos
\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}+12x^{2}-x+C_{1}\bigr)=4x^{3}+24x-1,
que é exatamente o f''(x) dado. Então a integração acima está correta.

Passo 4

Agora integramos f'(x) para obter f(x). Usamos de novo \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} e a linearidade da integral.
Integrando termo a termo em f'(x)=x^{4}+12x^{2}-x+C_{1}:
\int x^{4}\,dx=\frac{x^{5}}{5},
\int 12x^{2}\,dx=12\cdot\frac{x^{3}}{3}=4x^{3},
\int (-x)\,dx=-\frac{x^{2}}{2},
\int C_{1}\,dx=C_{1}x.
Somando e incluindo a nova constante de integração C_{2}, obtemos
f(x)=\frac{x^{5}}{5}+4x^{3}-\frac{x^{2}}{2}+C_{1}x+C_{2}.

Passo 5

Verificação final (diferenciando duas vezes): primeiro
f'(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{5}}{5}+4x^{3}-\frac{x^{2}}{2}+C_{1}x+C_{2}\right) = x^{4}+12x^{2}-x+C_{1},
e depois
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}+12x^{2}-x+C_{1}\bigr)=4x^{3}+24x-1,
que coincide com o enunciado. Tudo consistente.

Resposta

f(x)=\frac{x^{5}}{5}+4x^{3}-\frac{x^{2}}{2}+C_{1}x+C_{2}

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