Determine
.
Passo 1
O enunciado dá a segunda derivada
e pede para determinar
. Informações relevantes que temos:
.
Não foram fornecidas condições iniciais (valores de ou
em pontos específicos), portanto a solução será a antiderivada geral contendo duas constantes arbitrárias que surgem das integrais.
Não foram fornecidas condições iniciais (valores de
Passo 2
Para obter
precisamos integrar
uma vez. Vou lembrar a regra básica de antiderivadas que usamos aqui: para
,
Exemplo rápido:
.
Também vale a regra do fator constante: .
Também vale a regra do fator constante:
Aplicando termo a termo em
:
Somando e incluindo a constante de integração (chamaremos de
), obtemos
Passo 3
Verificação rápida (boa prática): ao diferenciar
encontramos
que é exatamente o
dado. Então a integração acima está correta.
Passo 4
Agora integramos
para obter
. Usamos de novo
e a linearidade da integral.
Integrando termo a termo em
:
Somando e incluindo a nova constante de integração
, obtemos
Passo 5
Verificação final (diferenciando duas vezes): primeiro
e depois
que coincide com o enunciado. Tudo consistente.