Determine f^{\prime \prime}(x) se:
\quad f(t)=t \operatorname{arccos} 3 t

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(t)=t\operatorname{arccos}\bigl(3t\bigr)
e pede a segunda derivada f''(x).
Para isso vamos usar a regra do produto para a primeira derivada e, em seguida, a regra da cadeia e do quociente para a segunda derivada.

Passo 2

Aplicando a regra do produto em f(t)=t\cdot \operatorname{arccos}(3t), temos
f'(t) =\frac{d}{dt}\bigl(t\bigr)\cdot \operatorname{arccos}(3t) + t\cdot \frac{d}{dt}\bigl(\operatorname{arccos}(3t)\bigr).
Sabemos que \frac{d}{dt}(\operatorname{arccos}(u))=-\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}. Aqui u=3t, então u'=3.

Passo 3

Substituindo na expressão de f'(t), obtemos
f'(t) =\operatorname{arccos}(3t) + t\!\biggl(-\frac{3}{\sqrt{1-(3t)^2}}\biggr) =\operatorname{arccos}(3t) -\frac{3t}{\sqrt{1-9t^2}}.

Passo 4

Para achar f''(t), derivamos cada termo de f'(t):
  1. Derivada de \operatorname{arccos}(3t):
\frac{d}{dt}\bigl(\operatorname{arccos}(3t)\bigr) =-\frac{3}{\sqrt{1-9t^2}}.
  1. Derivada de \displaystyle -\frac{3t}{\sqrt{1-9t^2}}. Seja
g(t)=\frac{3t}{\sqrt{1-9t^2}} =3\,t\,(1-9t^2)^{-\tfrac12}.
Então
g'(t) =3\frac{d}{dt}\Bigl[t\,(1-9t^2)^{-\tfrac12}\Bigr].

Passo 5

Usando produto e cadeia em t\,(1-9t^2)^{-\tfrac12}:
\frac{d}{dt}\Bigl[t\,(1-9t^2)^{-\tfrac12}\Bigr] =(1-9t^2)^{-\tfrac12} + t\Bigl(-\tfrac12\Bigr)(1-9t^2)^{-\tfrac32}(-18t).
Logo,
g'(t) =3\Bigl[(1-9t^2)^{-\tfrac12} +9t^2\,(1-9t^2)^{-\tfrac32}\Bigr] =3\,(1-9t^2)^{-\tfrac32}\bigl[(1-9t^2)+9t^2\bigr] = \frac{3}{(1-9t^2)^{\tfrac32}}.
Portanto, somando as duas partes,
f''(t) =-\frac{3}{\sqrt{1-9t^2}} -\frac{3}{(1-9t^2)^{\tfrac32}} =-3\,(1-9t^2)^{-\tfrac32}\bigl[(1-9t^2)+1\bigr] =-3\,\frac{2-9t^2}{(1-9t^2)^{\tfrac32}}.

Resposta

f''(x)= -3\,\frac{2-9x^2}{(1-9x^2)^{\tfrac32}} \quad\Longleftrightarrow\quad f''(x)= 3\,\frac{9x^2-2}{(1-9x^2)^{\tfrac32}}.

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