Determine f^prime prime(x) se:
f(x)=x^2 sen x

Passo 1

Estamos com a função f(x)=x^2sin x e queremos f''(x). Para isso, vamos usar a regra do produto e as derivadas básicas de sin x e cos x.

Passo 2

Aplicando a regra do produto para achar f'(x): seja u(x)=x^2 e v(x)=sin x. Então
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=(2x)sin x + x^2cos x=2xsin x + x^2cos x

Passo 3

Para f''(x) derivamos cada termo de f'(x)=2xsin x + x^2cos x separadamente:
  • Derivando 2xsin x usando regra do produto:
(2x)'sin x + 2x(sin x)'=2sin x + 2xcos x
- Derivando x^2cos x usando regra do produto:
(x^2)'cos x + x^2(cos x)'=2xcos x - x^2sin x

Passo 4

Somando os resultados, temos:
f''(x)=2sin x + 2xcos x + 2xcos x - x^2sin x

Passo 5

Agrupando termos semelhantes obtemos a forma final:

Resposta

f''(x)=2sin x+4xcos x - x^2sin x

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