Determine a série de Maclaurin de cada uma das funções abaixo. (Dica: Utilize as séries de potências conhecidas de funções elementares como $e^{x},
cos x, sin x$, e^x, cos x, sin x, entre outras.)
tan ^-1 x

Passo 1

A função dada é f(x)=x²·tan⁻¹(x³). O objetivo é encontrar a série de Maclaurin, ou seja, expansionar em potências de x em torno de zero. Para isso, vamos precisar da série conhecida de arctan.

Passo 2

A série de Maclaurin para arctan y é:
arctan y = sumk=0^infty (-1)^k y^2k+12k+1

Passo 3

Substituindo y = x^3 nessa série, obtemos:
arctan(x^3) = sumk=0^infty (-1)^k x^3(2k+1)2k+1 = sumk=0^infty (-1)^k x^6k+32k+1

Passo 4

Agora multiplicamos por x^2 para recuperar f(x):
f(x) = x^2 cdot arctan(x^3) = x^2 sumk=0^infty (-1)^k x^6k+32k+1 = sumk=0^infty (-1)^k x^6k+52k+1

Passo 5

Para ilustrar, os primeiros termos são:
x^5 - x^113 + x^175 - cdots

Resposta

sumk=0^infty (-1)^k x^6k+52k+1

Exercícios relacionados