Determine f^{\prime}(x), onde a função f dada por:
f(x)=\frac{x^{2}-2}{2 x+3}

Passo 1

O enunciado pede: determinar f'(x) para a função
f(x)=\frac{x^{2}-2}{2x+3}.
Informações dadas e observações importantes:
  • A função é uma razão de duas funções polinomiais: numerador x^{2}-2 e denominador 2x+3.
  • O denominador não pode ser zero; portanto 2x+3\neq0\Rightarrow x\neq -\tfrac{3}{2}. A derivada só faz sentido (no sentido de função derivada usual) para x\neq -\tfrac{3}{2}.
  • Pedido: encontrar a expressão de f'(x) (a derivada de f em termos de x).

Passo 2

Conceito e regra que vamos usar (explicação didática):
  • A derivada f'(x) representa a taxa de variação instantânea de f em relação a x.
  • Para derivar uma razão de duas funções, a regra mais prática e direta é a regra do quociente. Se definirmos duas funções
u(x)\quad\text{e}\quad v(x),\quad v(x)\neq0,
e g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então a regra do quociente diz:
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
  • Nesta fórmula, u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v. A ideia é: deriva-se o numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador. É útil porque evita reescrever a razão como produto e usar outras regras; é direta e segura em provas.

Passo 3

Identificar o numerador e o denominador da função:
u(x)=x^{2}-2,\qquad v(x)=2x+3.
Aqui u é o numerador e v é o denominador. Lembre-se: v(x)\neq0 (ou seja x\neq -\tfrac{3}{2}).

Passo 4

Calcular as derivadas de u e v (passo a passo, explicando a regra usada):
  • Derivada de u(x)=x^{2}-2: a derivada de x^{2} é 2x e a derivada da constante -2 é 0. Logo
u'(x)=2x.
  • Derivada de v(x)=2x+3: a derivada de 2x é 2 e a de 3 é 0. Logo
v'(x)=2.

Passo 5

Aplicar a regra do quociente com os valores calculados:
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{(2x)(2x+3)-(x^{2}-2)(2)}{(2x+3)^{2}}.
Agora vamos desenvolver e simplificar o numerador cuidadosamente.

Passo 6

Desenvolver o numerador passo a passo:
  • Primeiro termo: (2x)(2x+3)=4x^{2}+6x.
  • Segundo termo: (x^{2}-2)(2)=2x^{2}-4.
  • Subtraindo segundo termo do primeiro:
(4x^{2}+6x)-(2x^{2}-4)=4x^{2}+6x-2x^{2}+4=2x^{2}+6x+4.
Fatorando um 2 em evidência:
2x^{2}+6x+4=2\bigl(x^{2}+3x+2\bigr).
O polinômio x^{2}+3x+2 é fatorável:
x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2).

Passo 7

Reescrever a derivada na forma simplificada:
f'(x)=\frac{2\bigl(x^{2}+3x+2\bigr)}{(2x+3)^{2}}=\frac{2(x+1)(x+2)}{(2x+3)^{2}},\qquad x\neq -\tfrac{3}{2}.
Isso já é uma forma clara e fatorada da derivada.

Passo 8

Verificação alternativa (opcional, para entender outra técnica):
  • Pode-se também fazer a divisão polinomial de x^{2}-2 por 2x+3 para escrever f como soma de um polinômio e uma fração simples; isso às vezes facilita ver a derivada. Fazendo a divisão obtém-se
f(x)=\frac{x^{2}-2}{2x+3}=\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}+\frac{1}{4(2x+3)}.
Derivando termo a termo:
f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot\frac{-2}{(2x+3)^{2}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(2x+3)^{2}}.
Multiplicando numerador e denominador por (2x+3)^{2} e simplificando confirmam-se as equivalências com a expressão do Passo 7; ou seja as duas formas são algebraicamente idênticas.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{2(x+1)(x+2)}{(2x+3)^{2}}

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