Determine
, onde a função
dada por:
f(x)=\frac{x^{2}-2}{2 x+3}
f(x)=\frac{x^{2}-2}{2 x+3}
Passo 1
O enunciado pede: determinar
para a função
Informações dadas e observações importantes:
- A função é uma razão de duas funções polinomiais: numerador
e denominador . - O denominador não pode ser zero; portanto
. A derivada só faz sentido (no sentido de função derivada usual) para . - Pedido: encontrar a expressão de
(a derivada de em termos de ).
Passo 2
Conceito e regra que vamos usar (explicação didática):
- A derivada
representa a taxa de variação instantânea de em relação a . - Para derivar uma razão de duas funções, a regra mais prática e direta é a regra do quociente. Se definirmos duas funções
e
, então a regra do quociente diz:
- Nesta fórmula,
e são as derivadas de e . A ideia é: deriva-se o numerador vezes o denominador menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador. É útil porque evita reescrever a razão como produto e usar outras regras; é direta e segura em provas.
Passo 3
Identificar o numerador e o denominador da função:
Aqui
é o numerador e
é o denominador. Lembre-se:
(ou seja
).
Passo 4
Calcular as derivadas de
e
(passo a passo, explicando a regra usada):
- Derivada de
: a derivada de é e a derivada da constante é . Logo
- Derivada de
: a derivada de é e a de é . Logo
Passo 5
Aplicar a regra do quociente com os valores calculados:
Agora vamos desenvolver e simplificar o numerador cuidadosamente.
Passo 6
Desenvolver o numerador passo a passo:
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
. - Subtraindo segundo termo do primeiro:
Fatorando um
em evidência:
O polinômio
é fatorável:
Passo 7
Reescrever a derivada na forma simplificada:
Isso já é uma forma clara e fatorada da derivada.
Passo 8
Verificação alternativa (opcional, para entender outra técnica):
- Pode-se também fazer a divisão polinomial de
por para escrever como soma de um polinômio e uma fração simples; isso às vezes facilita ver a derivada. Fazendo a divisão obtém-se
Derivando termo a termo:
Multiplicando numerador e denominador por
e simplificando confirmam-se as equivalências com a expressão do Passo 7; ou seja as duas formas são algebraicamente idênticas.