O enunciado pede a transformada de Laplace de uma função em partes definida por pedaços, ou seja, aplicar a definição de Laplace em cada intervalo onde f(t) está especificada. Vamos usar o conceito de transformada de Laplace e integração por partes.
Passo 2
A definição da transformada de Laplace é
F(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt
Como f(t)=5t em 0<t<1, f(t)=-5t em 1<t<2 e zero fora, podemos escrever
Para calcular I1=integral0^15t e^-st,dt, usamos integração por partes. Tomamos:
u = t,\quad dv = e^{-st}dt \quad⇒\quad du = dt,\quad v=-\frac{e^{-st}}s.
Então
integral t e^-stdt=uv-integral v,du=-t e^-sts-e^-sts^2+C
Reagrupe e simplifique fatores exponenciais em e^{-s} e e^{-2s}. Observando que 1+e^-2s-2e^-s=(1-e^-s)^2, chega-se a uma forma mais compacta.
A forma final simplificada é obtida fatorando termos em 1/s e 1/s^2: