Determine F(s) dado que
f(t)=lc 5 t, & 02

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de uma função em partes definida por pedaços, ou seja, aplicar a definição de Laplace em cada intervalo onde f(t) está especificada. Vamos usar o conceito de transformada de Laplace e integração por partes.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace é
F(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt
Como f(t)=5t em 0<t<1, f(t)=-5t em 1<t<2 e zero fora, podemos escrever
F(s)=integral0^15t e^-st,dt+integral1^2(-5t)e^-st,dt

Passo 3

Para calcular I1=integral0^15t e^-st,dt, usamos integração por partes. Tomamos:
u = t,\quad dv = e^{-st}dt \quad⇒\quad du = dt,\quad v=-\frac{e^{-st}}s.
Então
integral t e^-stdt=uv-integral v,du=-t e^-sts-e^-sts^2+C
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I1=5l[-t e^-sts-e^-sts^2r]0^1 =5l(-e^-ss-e^-ss^2+1s^2r) =5s^2-5e^-sl(1s+1s^2r)

Passo 4

Para I2=integral1^2(-5t)e^-st,dt, reaplicamos integração por partes naquele intervalo:
I2=-5l[-t e^-sts-e^-sts^2r]1^2 =5l(2e^-2ss+e^-2ss^2-e^-ss-e^-ss^2r) =10e^-2ss+5e^-2ss^2-5e^-ss-5e^-ss^2

Passo 5

Somando I1+I2 obtemos
F(s)=5s^2-5e^-sl(1s+1s^2r)+10e^-2ss+5e^-2ss^2-5e^-ss-5e^-ss^2

Passo 6

Reagrupe e simplifique fatores exponenciais em e^{-s} e e^{-2s}. Observando que 1+e^-2s-2e^-s=(1-e^-s)^2, chega-se a uma forma mais compacta.
A forma final simplificada é obtida fatorando termos em 1/s e 1/s^2:
F(s)=10l(e^-2s-e^-sr)s+5l(1-e^-sr)^2s^2

Resposta

F(s)=10l(e^-2s-e^-sr)s+5l(1-e^-sr)^2s^2

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