Use o critério da razão para determinar todos os valores de x para os quais as séries abaixo sejam convergentes e os valores para os quais elas são divergentes.
sum 2^n x^n

Passo 1

A série dada é sumn=0^infty2^nx^n. O conteúdo da matéria é o critério da razão para séries numéricas, e vamos precisar identificar o termo geral an=2^nx^n e aplicar o teste da razão.

Passo 2

Vamos calcular o quociente entre termos sucessivos: temos an=2^nx^n e an+1=2^n+1x^n+1. Então
limntoinfty|an+1an|=limntoinfty|2^n+1x^n+12^nx^n|=|2x|

Passo 3

Pelo critério da razão, a série converge se |2x|<1, ou seja,
|x|<12

Passo 4

Quando |2x|>1, ou seja |x|>1/2, a série diverge. No caso de |2x|=1 (isto é, |x|=1/2), a razão é 1 e não temos convergência: se x=1/2, an=1 e a soma é infinita; se x=-1/2, an=(-1)^n não tende a zero, logo também diverge.

Resposta

A série converge para |x| e diverge para |x|>=tfrac12.

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