Use o critério da razão para determinar todos os valores de para os quais as séries abaixo sejam convergentes e os valores para os quais elas são divergentes.
Passo 1
A série dada é . O conteúdo da matéria é o critério da razão para séries numéricas, e vamos precisar identificar o termo geral e aplicar o teste da razão.
Passo 2
Vamos calcular o quociente entre termos sucessivos: temos e . Então
Passo 3
Pelo critério da razão, a série converge se |2x|<1, ou seja,
|x|<12
Passo 4
Quando |2x|>1, ou seja |x|>1/2, a série diverge. No caso de |2x|=1 (isto é, |x|=1/2), a razão é 1 e não temos convergência: se x=1/2, an=1 e a soma é infinita; se x=-1/2, an=(-1)^n não tende a zero, logo também diverge.
Resposta
A série converge para |x| e diverge para |x|>=tfrac12.