Obtenha F(s) para as seguintes funções no domínio do tempo.
e^-2 t cos 3 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace, que a gente chama de $ F(s) $, da função $ e^{-2 t} \cos 3 t $. Basicamente, estamos trabalhando com Transformada de Laplace, uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais no domínio da frequência. Para isso, vamos precisar usar as propriedades das transformadas e algumas fórmulas que envolvem exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da transformada de Laplace para a função $ e^{a t} \cos(b t) $. A fórmula geral é:
e^a t cos(b t)
Aqui, $ \mathcal{L} $ representa a transformada de Laplace, $ a $ é o coeficiente da exponencial, e $ b $ é o coeficiente do cosseno.

Passo 3

No nosso caso, a função que a gente tem é $ e^{-2 t} \cos 3 t $. Comparando com a fórmula, identificamos que:
e^-2 t cos 3 t
Vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar $ F(s) $.

Passo 4

Substituindo $ a = -2 $ e $ b = 3 $ na fórmula, ficamos com:
a = -2
Simplificando os sinais negativos:
b = 3

Passo 5

Vamos expandir o denominador para deixar tudo certinho:
(s + 2)^2 = s^2 + 4s + 4
Então, substituindo de volta:
F(s) = s + 2s^2 + 4s + 4 + 9 = s + 2s^2 + 4s + 13

Resposta

A transformada de Laplace da função $ e^{-2 t} \cos 3 t $ é:
e^-2 t cos 3 t

Exercícios relacionados