Obtenha
para as seguintes funções no domínio do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace, que a gente chama de $ F(s) $, da função $ e^{-2 t} \cos 3 t $. Basicamente, estamos trabalhando com Transformada de Laplace, uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais no domínio da frequência. Para isso, vamos precisar usar as propriedades das transformadas e algumas fórmulas que envolvem exponenciais e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da transformada de Laplace para a função $ e^{a t} \cos(b t) $. A fórmula geral é:
Aqui, $ \mathcal{L} $ representa a transformada de Laplace, $ a $ é o coeficiente da exponencial, e $ b $ é o coeficiente do cosseno.
Passo 3
No nosso caso, a função que a gente tem é $ e^{-2 t} \cos 3 t $. Comparando com a fórmula, identificamos que:
Vamos substituir esses valores na fórmula para encontrar $ F(s) $.
Passo 4
Substituindo $ a = -2 $ e $ b = 3 $ na fórmula, ficamos com:
Simplificando os sinais negativos:
Passo 5
Vamos expandir o denominador para deixar tudo certinho:
Então, substituindo de volta:
Resposta
A transformada de Laplace da função $ e^{-2 t} \cos 3 t $ é: