Determine
se
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a função $ f(t) $ sabendo que sua transformada de Laplace é dada por:
Vamos trabalhar com o conteúdo de Transformadas de Laplace, especificamente usando a técnica de frações parciais para decompor a expressão e facilitar a inversão.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor $ F(s) $ em frações parciais. Isso significa escrever $ F(s) $ como a soma de termos mais simples que podemos inverter individualmente.
Assumimos que:
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum $ (s + 1)(s + 2)(s + 3) $ para eliminar as frações:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $. Para isso, escolhemos valores específicos de $ s $ que simplificam a equação.
Primeiro, vamos escolher $ s = -1 $:
Passo 5
Em seguida, escolhemos $ s = -2 $:
Passo 6
Por fim, escolhemos $ s = -3 $:
Passo 7
Agora que temos os valores de $ A $, $ B $ e $ C $, podemos reescrever $ F(s) $ como:
Passo 8
Para encontrar $ f(t) $, aplicamos a transformada de Laplace inversa a cada termo:
Então, temos:
Resposta
A função $ f(t) $ é dada por: