Determine
se
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a função $ f(t) $ sabendo que a transformada de Laplace dela é $ F(s) = \frac{40}{(s^{2} + 4s + 5)^{2}} $. Vamos usar conceitos de transformadas de Laplace, especificamente inversas, para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, precisamos simplificar o denominador da função $ F(s) $. Vamos completar o quadrado na expressão $ s^{2} + 4s + 5 $:
Agora, nossa função fica:
Passo 3
Reconhecemos que a forma $ \frac{1}{\left((s + a)^{2} + b{2}\right){2}} $ está relacionada à transformada inversa que envolve funções exponenciais, seno e cosseno multiplicadas por $ t $. Especificamente, sabemos que:
Passo 4
Aplicando essa fórmula ao nosso caso, onde $ a = 2 $ e $ b = 1 $:
Passo 5
Agora, multiplicamos pelo coeficiente 40 que está na frente da fração original:
Resposta
A função procurada é: