Determine f(t) se F(s)=40(s^2+4 s+5)^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a função $ f(t) $ sabendo que a transformada de Laplace dela é $ F(s) = \frac{40}{(s^{2} + 4s + 5)^{2}} $. Vamos usar conceitos de transformadas de Laplace, especificamente inversas, para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, precisamos simplificar o denominador da função $ F(s) $. Vamos completar o quadrado na expressão $ s^{2} + 4s + 5 $:
F(s)
Agora, nossa função fica:
s^2 + 4s + 5

Passo 3

Reconhecemos que a forma $ \frac{1}{\left((s + a)^{2} + b{2}\right){2}} $ está relacionada à transformada inversa que envolve funções exponenciais, seno e cosseno multiplicadas por $ t $. Especificamente, sabemos que:
1((s + a)^2 + b^2)^2

Passo 4

Aplicando essa fórmula ao nosso caso, onde $ a = 2 $ e $ b = 1 $:
a = 2
b = 1

Passo 5

Agora, multiplicamos pelo coeficiente 40 que está na frente da fração original:
f(t) = 40 times e^-2 t2 ( sin(t) - t cos(t) )
= 20 e^-2 t ( sin(t) - t cos(t) )

Resposta

A função procurada é:
f(t) = 20, e^-2 t ( sin(t) - t, cos(t) )

Exercícios relacionados