Determine f(t) se F(s)=7 s^2+63 s+134(s+3)(s+4)(s+5).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar $ f(t) $ a partir de $ F(s) = \frac{7 s^{2}+63 s+134}{(s+3)(s+4)(s+5)} $. Estamos lidando com Transformadas de Laplace, então vamos usar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar $ f(t) $. Para isso, vamos precisar fazer uma fração parcial para simplificar $ F(s) $.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais de $ F(s) $. Isso significa que vamos escrever $ F(s) $ como uma soma de frações mais simples cuiros denominadores são os fatores lineares já dados: $ (s+3) $, $ (s+4) $ e $ (s+5) $.
Então, assumimos que:
F(s)

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum $ (s+3)(s+4)(s+5) $ para eliminar as frações:
A
Explicando, isso nos dá uma equação que deve ser válida para qualquer valor de $ s $. Para descobrir $ A $, $ B $ e $ C $, podemos escolher valores de $ s $ que simplificam a equação:
  • Para $ s = -3 $:
B
  • Para $ s = -4 $:
C
  • Para $ s = -5 $:
(s+3)(s+4)(s+5)

Passo 4

Agora que temos os valores de $ A $, $ B $ e $ C $, nossa decomposição fica:
A
Simplificando:
B
Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace a cada termo. Sabemos que:
C
Então, aplicando isso a cada termo:
7 s^2+63 s+134(s+3)(s+4)(s+5) = 4s+3 + 6s+4 + -3s+5
F(s) = 4s+3 + 6s+4 - 3s+5
L^-11s+a = e^-a t

Resposta

Portanto, a função $ f(t) $ é:
f(t)

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