Use a transformada operacional adequada da Tabela 12.2 para determinar a transformada de Laplace de cada função:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a transformada de Laplace da função $ t \cos \omega t $. A matéria aqui é transformadas de Laplace, que são ferramentas poderosas para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos usar uma tabela de transformadas (a Tabela 12.2 mencionada) e algumas propriedades básicas das transformadas de Laplace.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a transformada de Laplace da função $ \cos \omega t $. Da tabela, sabemos que:
Isso vai ser a base para resolvermos a transformada da nossa função original.
Passo 3
Agora, observe que nossa função original é $ t \cos \omega t $. Existe uma propriedade das transformadas de Laplace que nos ajuda aqui: se você tem uma função multiplicada por $ t $, a transformada de Laplace é equivalente a tirar a derivada negativa da transformada da função original em relação a $ s $. Em outras palavras:
No nosso caso, $ f(t) = \cos \omega t $, então vamos derivar a transformada que encontramos no Passo 2.
Passo 4
Aplicando a propriedade, temos:
Agora, vamos fazer essa derivada. Usamos a regra do quociente:
Multiplicando pelo sinal negativo, temos:
Resposta
A transformada de Laplace de $ t \cos \omega t $ é: