Use a transformada operacional adequada da Tabela 12.2 para determinar a transformada de Laplace de cada função:
t cos omega t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a transformada de Laplace da função $ t \cos \omega t $. A matéria aqui é transformadas de Laplace, que são ferramentas poderosas para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos usar uma tabela de transformadas (a Tabela 12.2 mencionada) e algumas propriedades básicas das transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a transformada de Laplace da função $ \cos \omega t $. Da tabela, sabemos que:
cos omega t
Isso vai ser a base para resolvermos a transformada da nossa função original.

Passo 3

Agora, observe que nossa função original é $ t \cos \omega t $. Existe uma propriedade das transformadas de Laplace que nos ajuda aqui: se você tem uma função multiplicada por $ t $, a transformada de Laplace é equivalente a tirar a derivada negativa da transformada da função original em relação a $ s $. Em outras palavras:
t cos omega t
No nosso caso, $ f(t) = \cos \omega t $, então vamos derivar a transformada que encontramos no Passo 2.

Passo 4

Aplicando a propriedade, temos:
Lt cos omega t = -dds ( ss^2 + omega^2 )
Agora, vamos fazer essa derivada. Usamos a regra do quociente:
dds ( ss^2 + omega^2 ) = (1)(s^2 + omega^2) - s(2s)(s^2 + omega^2)^2 = s^2 + omega^2 - 2s^2(s^2 + omega^2)^2 = -s^2 + omega^2(s^2 + omega^2)^2
Multiplicando pelo sinal negativo, temos:
Lt cos omega t = s^2 - omega^2(s^2 + omega^2)^2

Resposta

A transformada de Laplace de $ t \cos \omega t $ é:
t cos omega t

Exercícios relacionados