Determine a transformada de Laplace dos sinais abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a transformada de Laplace do sinal
.
Informações dadas que vamos usar: é a variável de tempo,
é a função degrau unitário (garante que a função vale zero para
), e a parte não trivial é
. A pergunta é única: calcular
.
Informações dadas que vamos usar:
Passo 2
Definição e propriedade útil — a ferramenta que vamos usar.
A transformada de Laplace de uma função causal é definida por
A transformada de Laplace de uma função causal
onde
é a variável complexa (normalmente pedimos
grande o suficiente para convergência).
Agora uma propriedade muito prática (que economiza integração): se , então, para inteiro
,
Agora uma propriedade muito prática (que economiza integração): se
Explicação rápida dessa propriedade: diferenciar
em
traz um fator
para dentro da integral, repetindo
vezes gera o fator
, o que dá a relação acima (desde que a diferenciação sob o sinal de integral seja válida, o que ocorre aqui para
com parte real suficientemente grande).
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso caso. Vamos primeiro achar a transformada de Laplace de
. Usando fórmula conhecida (ou integrando diretamente),
Aqui
, logo
Passo 4
Agora usamos a propriedade para
: como
, e
, temos
Então precisamos calcular a segunda derivada de
.
Passo 5
Cálculo da primeira derivada
usando a regra do quociente. Seja
. Então
Passo 6
Cálculo da segunda derivada
. Vamos derivar
Use novamente a regra do quociente; tome
e
. Então
e
. Pela regra do quociente,
Substituindo:
Fatorando
no numerador:
Assim
Multiplicando o sinal para reordenar:
Podemos também fatorar:
Passo 7
Conclusão e região de convergência. Pelas contas acima,
A transformada existe para valores de
com
(essa é a região onde as integrais convergem no caso de funções polinomiais multiplicadas por cosseno).