Determine a transformada de Laplace dos sinais abaixo:
f(x)=t^{2} \cos (3 t) u(t)

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a transformada de Laplace do sinal f(x)=t^{2}\cos(3t)u(t).
Informações dadas que vamos usar: t é a variável de tempo, u(t) é a função degrau unitário (garante que a função vale zero para t<0), e a parte não trivial é t^{2}\cos(3t). A pergunta é única: calcular \mathcal{L}\{t^{2}\cos(3t)u(t)\}.

Passo 2

Definição e propriedade útil — a ferramenta que vamos usar.
A transformada de Laplace de uma função causal g(t) é definida por
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} g(t)e^{-st}\,dt,
onde s é a variável complexa (normalmente pedimos \operatorname{Re}(s) grande o suficiente para convergência).
Agora uma propriedade muito prática (que economiza integração): se G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s), então, para inteiro n\ge 0,
\mathcal{L}\{t^{n}g(t)\}(s)=(-1)^{n}\frac{d^{n}}{ds^{n}}G(s).
Explicação rápida dessa propriedade: diferenciar G(s)=\int_{0}^{\infty} g(t)e^{-st}dt em s traz um fator -t para dentro da integral, repetindo n vezes gera o fator (-t)^{n}, o que dá a relação acima (desde que a diferenciação sob o sinal de integral seja válida, o que ocorre aqui para s com parte real suficientemente grande).

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso. Vamos primeiro achar a transformada de Laplace de \cos(3t). Usando fórmula conhecida (ou integrando diretamente),
\mathcal{L}\{\cos(at)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Aqui a=3, logo
G(s)=\mathcal{L}\{\cos(3t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+9}.

Passo 4

Agora usamos a propriedade para n=2: como \mathcal{L}\{t^{2}\cos(3t)\}(s)=(-1)^{2}\dfrac{d^{2}}{ds^{2}}G(s), e (-1)^{2}=1, temos
\mathcal{L}\{t^{2}\cos(3t)\}(s)=\frac{d^{2}}{ds^{2}}\left(\frac{s}{s^{2}+9}\right).
Então precisamos calcular a segunda derivada de G(s)=\dfrac{s}{s^{2}+9}.

Passo 5

Cálculo da primeira derivada G'(s) usando a regra do quociente. Seja G(s)=\dfrac{s}{s^{2}+9}. Então
G'(s)=\frac{1\cdot (s^{2}+9)-s\cdot 2s}{(s^{2}+9)^{2}}=\frac{s^{2}+9-2s^{2}}{(s^{2}+9)^{2}}=\frac{9-s^{2}}{(s^{2}+9)^{2}}.

Passo 6

Cálculo da segunda derivada G''(s). Vamos derivar
G'(s)=\frac{9-s^{2}}{(s^{2}+9)^{2}}.
Use novamente a regra do quociente; tome N(s)=9-s^{2} e D(s)=(s^{2}+9)^{2}. Então N'(s)=-2s e D'(s)=2(s^{2}+9)\cdot 2s=4s(s^{2}+9). Pela regra do quociente,
G''(s)=\frac{N'(s)D(s)-N(s)D'(s)}{D(s)^{2}}.
Substituindo:
G''(s)=\frac{-2s\,(s^{2}+9)^{2} - (9-s^{2})\cdot 4s(s^{2}+9)}{(s^{2}+9)^{4}}.
Fatorando -2s(s^{2}+9) no numerador:
\begin{aligned} \text{num} &= -2s(s^{2}+9)\big[(s^{2}+9) + 2(9-s^{2})\big] \\\ &= -2s(s^{2}+9)\big(s^{2}+9 +18 -2s^{2}\big) \\\ &= -2s(s^{2}+9)\big(27 - s^{2}\big). \end{aligned}
Assim
G''(s)=\frac{-2s(s^{2}+9)(27-s^{2})}{(s^{2}+9)^{4}}=\frac{-2s(27-s^{2})}{(s^{2}+9)^{3}}.
Multiplicando o sinal para reordenar:
G''(s)=\frac{2s^{3}-54s}{(s^{2}+9)^{3}}.
Podemos também fatorar:
G''(s)=\frac{2s(s^{2}-27)}{(s^{2}+9)^{3}}.

Passo 7

Conclusão e região de convergência. Pelas contas acima,
\mathcal{L}\{t^{2}\cos(3t)\}(s)=G''(s)=\frac{2s^{3}-54s}{(s^{2}+9)^{3}}.
A transformada existe para valores de s com \operatorname{Re}(s)>0 (essa é a região onde as integrais convergem no caso de funções polinomiais multiplicadas por cosseno).

Resposta

\mathcal{L}\{t^{2}\cos(3t)u(t)\}(s)=\frac{2s^{3}-54s}{(s^{2}+9)^{3}},\quad \operatorname{Re}(s)>0

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