Determine f(t) para:
\quad F(s)=\frac{8 s-3}{s^{2}+4 s+13}

Passo 1

O enunciado pede para determinar f(t) a partir da transformada dada:
F(s)=\frac{8 s-3}{s^{2}+4 s+13}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{Dado }F(s)=\frac{8 s-3}{s^{2}+4 s+13}.
A tarefa é encontrar a função f(t) cuja transformada (no domínio s) é F(s). Não há outras informações adicionais no enunciado.

Passo 2

Primeiro passo técnico: simplificar o denominador completando o quadrado, porque isso facilita reconhecer transformadas padrão. Vamos reescrever s^{2}+4s+13 como um quadrado perfeito mais uma constante.
Calculemos:
s^{2}+4s+13 = (s^{2}+4s+4)+9 = (s+2)^{2}+9.
Portanto o denominador fica (s+2)^{2}+3^{2}.

Passo 3

Agora reescrevemos o numerador (8s-3) em termos de (s+2), porque o denominador está em (s+2). Fazemos uma decomposição algébrica simples:
Começamos escrevendo
8s-3 = 8(s+2) - 16 - 3 = 8(s+2) - 19.
Ou seja,
8s-3 = 8(s+2) - 19.

Passo 4

Substituímos essa expressão de volta em F(s) e separamos em duas frações que são mais fáceis de inverter:
F(s)=\frac{8(s+2)-19}{(s+2)^{2}+3^{2}} = 8\cdot\frac{s+2}{(s+2)^{2}+3^{2}} \;-\; 19\cdot\frac{1}{(s+2)^{2}+3^{2}}.

Passo 5

Agora precisamos reconhecer as formas padrão de transformadas inversas. Aqui vão as fórmulas importantes e a explicação detalhada (sem assumir que você já saiba):
  • Fórmula 1: a transformada de e^{a t}\cos(bt) é
\mathcal{L}\{e^{a t}\cos(bt)\}=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Explicação: a é a taxa de decaimento/exponencial (pode ser negativo), b é a frequência angular da cosseno. O numerador fica s-a e o denominador (s-a)^{2}+b^{2}.
  • Fórmula 2: a transformada de e^{a t}\sin(bt) é
\mathcal{L}\{e^{a t}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Explicação: mesma ideia; o numerador é b para o seno.
No nosso caso observe que o denominador está em função de (s+2), que equivale a s-(-2). Logo a=-2 e b=3 na notação das fórmulas acima. Assim reconheceremos termos do tipo \dfrac{s+2}{(s+2)^{2}+3^{2}} e \dfrac{3}{(s+2)^{2}+3^{2}}.

Passo 6

Aplicando as fórmulas padrão às frações que obtivemos em

Passo 7

  • Para o primeiro termo
\frac{s+2}{(s+2)^{2}+3^{2}}
pela Fórmula 1 com a=-2 e b=3 corresponde à transformada de e^{-2t}\cos(3t). Logo
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s+2}{(s+2)^{2}+3^{2}}\right\}=e^{-2t}\cos(3t).
  • Para o segundo termo temos \dfrac{1}{(s+2)^{2}+3^{2}}. Precisamos relacioná-lo à forma \dfrac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}. Aqui b=3, então
\frac{1}{(s+2)^{2}+3^{2}} = \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{(s+2)^{2}+3^{2}}.
Pela Fórmula 2,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{3}{(s+2)^{2}+3^{2}}\right\}=e^{-2t}\sin(3t).
Portanto
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+2)^{2}+3^{2}}\right\}=\frac{1}{3}e^{-2t}\sin(3t).

Passo 8

Agora aplicamos a linearidade (a transformada inversa é linear) aos termos com os coeficientes que tínhamos em

Passo 9

Temos
F(s)=8\cdot\frac{s+2}{(s+2)^{2}+3^{2}} \;-\; 19\cdot\frac{1}{(s+2)^{2}+3^{2}}.
Tomando a transformada inversa termo a termo:
  • Primeiro termo vira 8\cdot e^{-2t}\cos(3t).
  • Segundo termo vira -19\cdot\left(\dfrac{1}{3}e^{-2t}\sin(3t)\right) = -\dfrac{19}{3}e^{-2t}\sin(3t).
Somando:
f(t)=8e^{-2t}\cos(3t) - \frac{19}{3}e^{-2t}\sin(3t).

Passo 10

Podemos fatorar e^{-2t} para deixar a resposta mais compacta (opcional, mas útil na prova):
f(t)=e^{-2t}\!\left(8\cos(3t)-\frac{19}{3}\sin(3t)\right).

Resposta

f(t)=8e^{-2t}\cos(3t)-\dfrac{19}{3}e^{-2t}\sin(3t)

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