Determine
para:
Passo 1
O enunciado pede para determinar
a partir da transformada dada:
Informações relevantes que o enunciado dá:
A tarefa é encontrar a função
cuja transformada (no domínio
) é
. Não há outras informações adicionais no enunciado.
Passo 2
Primeiro passo técnico: simplificar o denominador completando o quadrado, porque isso facilita reconhecer transformadas padrão. Vamos reescrever
como um quadrado perfeito mais uma constante.
Calculemos:
Portanto o denominador fica
.
Passo 3
Agora reescrevemos o numerador
em termos de
, porque o denominador está em
. Fazemos uma decomposição algébrica simples:
Começamos escrevendo
Ou seja,
Passo 4
Substituímos essa expressão de volta em
e separamos em duas frações que são mais fáceis de inverter:
Passo 5
Agora precisamos reconhecer as formas padrão de transformadas inversas. Aqui vão as fórmulas importantes e a explicação detalhada (sem assumir que você já saiba):
- Fórmula 1: a transformada de
é
Explicação:
é a taxa de decaimento/exponencial (pode ser negativo),
é a frequência angular da cosseno. O numerador fica
e o denominador
.
- Fórmula 2: a transformada de
é
Explicação: mesma ideia; o numerador é
para o seno.
No nosso caso observe que o denominador está em função de
, que equivale a
. Logo
e
na notação das fórmulas acima. Assim reconheceremos termos do tipo
e
.
Passo 6
Aplicando as fórmulas padrão às frações que obtivemos em
Passo 7
- Para o primeiro termo
pela Fórmula 1 com
e
corresponde à transformada de
. Logo
- Para o segundo termo temos
. Precisamos relacioná-lo à forma . Aqui , então
Pela Fórmula 2,
Portanto
Passo 8
Agora aplicamos a linearidade (a transformada inversa é linear) aos termos com os coeficientes que tínhamos em
Passo 9
Temos
Tomando a transformada inversa termo a termo:
- Primeiro termo vira
. - Segundo termo vira
.
Somando:
Passo 10
Podemos fatorar
para deixar a resposta mais compacta (opcional, mas útil na prova):