Determine f(t) se \mathcal{L}(f) vale:
\frac{1}{(s-3)^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace de uma função f(t) como
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{(s-3)^{2}}
e pede para encontrar f(t). O conteúdo principal é a inversão da transformada de Laplace usando o teorema do deslocamento no domínio de s.

Passo 2

Lembramos que
\mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}}.
Isso significa que a função cuja transformada é 1/s^{2} é g(t)=t.

Passo 3

Aplicamos o teorema do deslocamento: se
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=G(s),
então
\mathcal{L}\{e^{at}g(t)\}(s)=G(s-a).
Aqui temos G(s-a)=1/(s-3)^{2}, comparando com G(s)=1/s^{2} vemos que a=3 e g(t)=t. Logo
f(t)=e^{3t}\,t.

Resposta

f(t)=t\,e^{3t}

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