Determine f(t) se \mathcal{L}(f) vale:
\frac{s+2}{(s+2)^{2}+a^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace
F(s)=\frac{s+2}{(s+2)^{2}+a^{2}}
e pede f(t). Para resolver, vamos usar o teorema de deslocamento na variável s e a transformada conhecida de \cos(at).

Passo 2

Lembramos que
\mathcal{L}\bigl\{\cos(at)\bigr\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Se chamarmos G(s)=\tfrac{s}{s^{2}+a^{2}}, então F(s)=G(s+2), pois basta substituir s\to s+2.

Passo 3

Pelo teorema de deslocamento,
\mathcal{L}\bigl\{e^{-2t}g(t)\bigr\}(s)=G(s+2).
Como G(s) é a transformada de \cos(at), concluímos
f(t)=e^{-2t}\cos(at).

Resposta

f(t)=e^{-2t}\cos(at)

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