Determine f(t) se \mathcal{L}(f) vale:
\frac{1}{s^{2}+9}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função f(t) cuja transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{s^{2}+9}.
O conteúdo aqui é inversão de transformada de Laplace, em particular usar a transformada conhecida de senos e cossenos.

Passo 2

Lembramos da fórmula padrão da transformada de Laplace:
\mathcal{L}\{\sin(a t)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.
Dividindo ambos os lados por a, obtemos
\mathcal{L}\Bigl\{\frac{1}{a}\sin(a t)\Bigr\}(s) =\frac{1}{s^{2}+a^{2}}.

Passo 3

No nosso caso, queremos \frac{1}{s^{2}+9}. Comparando com \frac{1}{s^{2}+a^{2}}, vemos que a^{2}=9, ou seja a=3. Assim
f(t)=\frac{1}{3}\sin(3t).

Resposta

f(t)=\frac{1}{3}\sin(3t).

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