Determine as transformadas de Laplace das seguintes funções:
f(t)=\left\{\begin{array}{lll}t & \text { se } & 0 \leq t \leq 1 \\\\ 0 & \text { se } & t>1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)= \begin{cases} t, & 0\le t\le1,\\\\ 0, & t>1. \end{cases}
O conteúdo aqui é o uso da definição de transformada de Laplace, que para uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)\,e^{-st}\,dt.
Como f(t)=0 para t>1, vamos precisar apenas integrar de 0 a 1.

Passo 2

Escrevemos a integral de acordo com a definição, lembrando que para t>1 não contribui nada:
\mathcal{L}\{f\}(s) =\int_{0}^{\infty}f(t)\,e^{-st}\,dt =\int_{0}^{1}t\,e^{-st}\,dt.

Passo 3

Para calcular
\int_{0}^{1}t\,e^{-st}\,dt
usamos integração por partes. Tomamos
u = t,\quad dv = e^{-st}\,dt
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du=dt,\quad v=-\frac{1}{s}e^{-st}.
Pela fórmula \displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du, temos
\int_{0}^{1}t\,e^{-st}\,dt =\Bigl[-\frac{t}{s}e^{-st}\Bigr]_{0}^{1} -\int_{0}^{1}\Bigl(-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr)\,dt.

Passo 4

Calculando cada termo:
  1. O termo de borda:
\Bigl[-\frac{t}{s}e^{-st}\Bigr]_{0}^{1} =-\frac{1}{s}e^{-s}-0.
  1. A integral remanescente:
-\int_{0}^{1}\Bigl(-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr)\,dt =\frac{1}{s}\int_{0}^{1}e^{-st}\,dt =\frac{1}{s}\Bigl[-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{0}^{1} =-\frac{1}{s^2}(e^{-s}-1).
Somando os dois resultados:
\int_{0}^{1}t\,e^{-st}\,dt =-\frac{1}{s}e^{-s} -\frac{1}{s^2}(e^{-s}-1).

Passo 5

Basta simplificar:
-\frac{1}{s}e^{-s} -\frac{1}{s^2}(e^{-s}-1) =\frac{1}{s^2}-e^{-s}\Bigl(\frac{1}{s}+\frac{1}{s^2}\Bigr) =\frac{1-(s+1)e^{-s}}{s^2}.

Resposta

\mathcal{L}\{f\}(s) =\int_{0}^{1}t\,e^{-st}\,dt =\frac{1-(s+1)e^{-s}}{s^2}.

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