Determine as transformadas de Laplace das seguintes funções: f(t)=\left\{\begin{array}{lll}t & \text { se } & 0 \leq t \leq 1 \\\\ 0 & \text { se } & t>1\end{array}\right. Passo 1O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)= \begin{cases} t, & 0\le t\le1,\\\\ 0, & t>1. \end{cases} O conteúdo aqui é o uso da definição de transformada de Laplace, que para uma função f(t) é \mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)\,e^{-st}\,dt. Como f(t)=0 para t>1, vamos precisar apenas integrar de 0 a 1. Passo 2Escrevemos a integral de acordo com a definição, lembrando que para t>1 não contribui nada: \mathcal{L}\{f\}(s) =\int_{0}^{\infty}f(t)\,e^{-st}\,dt =\int_{0}^{1}t\,e^{-st}\,dt. Passo 3Para calcular \int_{0}^{1}t\,e^{-st}\,dt usamos integração por partes. Tomamos u = t,\quad dv = e^{-st}\,dt logo du=dt,\quad v=-\frac{1}{s}e^{-st}. Pela fórmula \displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du, temos \int_{0}^{1}t\,e^{-st}\,dt =\Bigl[-\frac{t}{s}e^{-st}\Bigr]_{0}^{1} -\int_{0}^{1}\Bigl(-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr)\,dt. Passo 4Calculando cada termo: O termo de borda: \Bigl[-\frac{t}{s}e^{-st}\Bigr]_{0}^{1} =-\frac{1}{s}e^{-s}-0. A integral remanescente: -\int_{0}^{1}\Bigl(-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr)\,dt =\frac{1}{s}\int_{0}^{1}e^{-st}\,dt =\frac{1}{s}\Bigl[-\frac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{0}^{1} =-\frac{1}{s^2}(e^{-s}-1). Somando os dois resultados: \int_{0}^{1}t\,e^{-st}\,dt =-\frac{1}{s}e^{-s} -\frac{1}{s^2}(e^{-s}-1). Passo 5Basta simplificar: -\frac{1}{s}e^{-s} -\frac{1}{s^2}(e^{-s}-1) =\frac{1}{s^2}-e^{-s}\Bigl(\frac{1}{s}+\frac{1}{s^2}\Bigr) =\frac{1-(s+1)e^{-s}}{s^2}. Resposta \mathcal{L}\{f\}(s) =\int_{0}^{1}t\,e^{-st}\,dt =\frac{1-(s+1)e^{-s}}{s^2}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDetermine as transformadas de Laplace das seguintes funções: f(t)=\left\{\begin{array}{lll}0 & \text { se } & 0 \leq t<1 \\\\ 1 & \text { se } & 1 \leq t \leq 2 \\\\ 0 & \text { se } & t>2\end{array}\right. Determine as transformadas de Laplace das seguintes funções, onde a, b etc. são constantes: 3 \operatorname{cosh} ^{2} 2 t Determine f(t) se \mathcal{L}(f) vale: \frac{3}{s+2} Determine f(t) se \mathcal{L}(f) vale: \frac{1}{s^{2}+9}