Determine a transformada de Laplace dos sinais abaixo:
f(x)=t^{2} \operatorname{sen}(2 t) u(t)

Passo 1

O enunciado pede: determinar a transformada de Laplace do sinal \;f(t)=t^{2}\operatorname{sen}(2t)\,u(t).\n\nInformações dadas e clarificações úteis que vêm do enunciado:\n- A função é \;f(t)=t^{2}\operatorname{sen}(2t)\,u(t).\n- u(t) é o degrau unitário (função de Heaviside), logo a função vale zero para t<0 e a integral da transformada é tomada a partir de t=0.\n- A variável de Laplace será s (complexa) e vamos supor a região de convergência adequada (será indicada no final).

Passo 2

Definição da transformada de Laplace e interpretação das variáveis (aula rápida):\n\nA transformada de Laplace de uma função causal g(t) é
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} g(t)\,e^{-st}\,dt,
onde s é uma variável complexa e a integral converge para valores de s com \operatorname{Re}(s) suficientemente grande. Aqui temos g(t)=t^{2}\operatorname{sen}(2t) para t\ge0 (o u(t) garante isso). A nossa meta é calcular essa integral; existe uma propriedade que torna o trabalho muito mais simples — vamos aprendê‑la e aplicá‑la.

Passo 3

Propriedade útil (e seu raciocínio): multiplicar por t^{n} no tempo corresponde a derivar no domínio s.\n\nAfirmação:
\mathcal{L}\{t^{n}g(t)\}(s)=(-1)^{n}\frac{d^{n}}{ds^{n}}\bigl(\mathcal{L}\{g(t)\}(s)\bigr).
Explicação curta (caso n=1, que dá a intuição): partimos da definição
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} g(t)e^{-st}\,dt.
Diferenciando em s por baixo do integral (técnica válida quando a integral converge bem) obtemos
\frac{d}{ds}\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} g(t)\frac{d}{ds}(e^{-st})\,dt=\int_{0}^{\infty} g(t)(-t)e^{-st}\,dt=-\mathcal{L}\{t g(t)\}(s).
Isolando, \mathcal{L}\{t g(t)\}(s)=-\dfrac{d}{ds}\mathcal{L}\{g(t)\}(s). Repetindo o argumento obtemos a versão para n genérico. No nosso caso n=2, então
\mathcal{L}\{t^{2}g(t)\}(s)=\frac{d^{2}}{ds^{2}}\bigl(\mathcal{L}\{g(t)\}(s)\bigr),
pois (-1)^{2}=+1.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao nosso problema: primeiro calcule a transformada de \operatorname{sen}(2t).\n\nFórmula conhecida (fácil de deduzir por integração por partes ou pela transformada de funções exponenciais):
\mathcal{L}\{\operatorname{sen}(a t)\}(s)=\frac{a}{s^{2}+a^{2}},\qquad \text{para } \operatorname{Re}(s)>0.
Aqui a=2, portanto
\mathcal{L}\{\operatorname{sen}(2t)\}(s)=\frac{2}{s^{2}+4}.
Vou chamar F(s)=\dfrac{2}{s^{2}+4}.

Passo 5

Usando a propriedade para n=2:\n\nTemos
\mathcal{L}\{t^{2}\operatorname{sen}(2t)\}(s)=\frac{d^{2}}{ds^{2}}\! \biggl(\frac{2}{s^{2}+4}\biggr).
Agora calculamos as derivadas passo a passo.

Passo 6

Cálculo das derivadas de F(s)=\dfrac{2}{s^{2}+4}.\n\nPrimeira derivada:
\frac{d}{ds}F(s)=\frac{d}{ds}\!\bigl(2(s^{2}+4)^{-1}\bigr)=2\cdot(-1)(s^{2}+4)^{-2}\cdot 2s=-\frac{4s}{(s^{2}+4)^{2}}.
Segunda derivada (aplicando a regra do produto / cadeia com cuidado):
\frac{d^{2}}{ds^{2}}F(s)=\frac{d}{ds}\!\left(-\frac{4s}{(s^{2}+4)^{2}}\right).
Vamos derivar o produto -4s\cdot (s^{2}+4)^{-2}:
\frac{d^{2}}{ds^{2}}F(s) = -4\cdot (s^{2}+4)^{-2} + (-4s)\cdot \bigl(-2\bigr)(s^{2}+4)^{-3}\cdot 2s.
Simplificando o segundo termo: (-4s)\cdot(-4s)\,(s^{2}+4)^{-3}=16s^{2}(s^{2}+4)^{-3}. Então
\frac{d^{2}}{ds^{2}}F(s) = -\frac{4}{(s^{2}+4)^{2}}+\frac{16s^{2}}{(s^{2}+4)^{3}}.
Colocando num denominador comum (s^{2}+4)^{3}:
\frac{d^{2}}{ds^{2}}F(s)=\frac{-4(s^{2}+4)+16s^{2}}{(s^{2}+4)^{3}}=\frac{12s^{2}-16}{(s^{2}+4)^{3}}.
Fatorando 4:
\frac{d^{2}}{ds^{2}}F(s)=\frac{4(3s^{2}-4)}{(s^{2}+4)^{3}}.

Passo 7

Conclusão e observação sobre convergência:\n\nPortanto a transformada de Laplace do sinal dado é
\mathcal{L}\{t^{2}\operatorname{sen}(2t)\,u(t)\}(s)=\frac{4(3s^{2}-4)}{(s^{2}+4)^{3}},
válida na região onde a integral converge (em particular \operatorname{Re}(s)>0 para este tipo de função). Força aí — dá para decorar o procedimento: primeiro a transformada da parte trigonométrica, depois derivar conforme o número de potências de t.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{t^{2}\operatorname{sen}(2t)\,u(t)\}(s)=\frac{4(3s^{2}-4)}{(s^{2}+4)^{3}} (para \operatorname{Re}(s)>0).

Exercícios relacionados