Determine a transformada de Laplace dos sinais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a transformada de Laplace do sinal
.\n\nInformações dadas e clarificações úteis que vêm do enunciado:\n- A função é
.\n-
é o degrau unitário (função de Heaviside), logo a função vale zero para
e a integral da transformada é tomada a partir de
.\n- A variável de Laplace será
(complexa) e vamos supor a região de convergência adequada (será indicada no final).
Passo 2
Definição da transformada de Laplace e interpretação das variáveis (aula rápida):\n\nA transformada de Laplace de uma função causal
é
onde
é uma variável complexa e a integral converge para valores de
com
suficientemente grande. Aqui temos
para
(o
garante isso). A nossa meta é calcular essa integral; existe uma propriedade que torna o trabalho muito mais simples — vamos aprendê‑la e aplicá‑la.
Passo 3
Propriedade útil (e seu raciocínio): multiplicar por
no tempo corresponde a derivar no domínio
.\n\nAfirmação:
Explicação curta (caso
, que dá a intuição): partimos da definição
Diferenciando em
por baixo do integral (técnica válida quando a integral converge bem) obtemos
Isolando,
. Repetindo o argumento obtemos a versão para
genérico. No nosso caso
, então
pois
.
Passo 4
Aplicando a propriedade ao nosso problema: primeiro calcule a transformada de
.\n\nFórmula conhecida (fácil de deduzir por integração por partes ou pela transformada de funções exponenciais):
Aqui
, portanto
Vou chamar
.
Passo 5
Usando a propriedade para
:\n\nTemos
Agora calculamos as derivadas passo a passo.
Passo 6
Cálculo das derivadas de
.\n\nPrimeira derivada:
Segunda derivada (aplicando a regra do produto / cadeia com cuidado):
Vamos derivar o produto
:
Simplificando o segundo termo:
. Então
Colocando num denominador comum
:
Fatorando
:
Passo 7
Conclusão e observação sobre convergência:\n\nPortanto a transformada de Laplace do sinal dado é
válida na região onde a integral converge (em particular
para este tipo de função). Força aí — dá para decorar o procedimento: primeiro a transformada da parte trigonométrica, depois derivar conforme o número de potências de
.