Determine F(t) sabendo que
d Fd t=t i+2 k e F(0)=i+j.

Passo 1

O exercício pede para encontrar a função vetorial F(t) sabendo que sua derivada é dF/dt = t i + 2 k e que F(0) = i + j. O conteúdo aqui é integração de funções vetoriais, em que integramos componente a componente.

Passo 2

A derivada vetorial dF/dt = t i + 2 k significa que as componentes satisfazem dx/dt = t, dy/dt = 0 e dz/dt = 2. Integrando cada uma:
– Integração de dx/dt: x(t)=integral t,dt=t^22+C1
– Integração de dy/dt: y(t)=integral0,dt=C2
– Integração de dz/dt: z(t)=integral2,dt=2t+C3

Passo 3

Usando a condição inicial F(0)=i+j, temos x(0)=C_1=1, y(0)=C_2=1 e z(0)=C_3=0. Substituindo esses valores nos dá as constantes de integração. Logo, a solução final é
F(t)= l(1+tfract^22r)i+j+2t,k.

Resposta

F(t)=l(1+tfract^22r)i+j+2t,k

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