Seja F: I R^3, derivável até a 2^0 ordem. Suponha que F(t) forneça a posição, no instante t, de um ponto P que se move no espaço. Definimos a velocidade v(t) e a aceleração a(t) de P, no instante t, por v(t)=d Fd t(t) e a(t)=d vd t(t)=d^2 Fd t^2(t). Mostre que se |v(t)|=k para todo t, em que k>0 é um constante, então
lang<=v(t), a(t)rang<==0
para todo t. Interprete geometricamente.
Dica: Derive a função |v(t)|^2=k^2.

Passo 1

Neste exercício temos uma função vetorial F:ItoR^3, com vec v(t)=F'(t) e vec a(t)=F''(t). Sabemos que a norma da velocidade é constante, isto é, |vec v(t)|=k>0 para todo t. Precisamos mostrar que lang<=vec v(t),vec a(t)rang<==0. Para isso, vamos usar a derivada da função |vec v(t)|^2.

Passo 2

Diferenciando a identidade de norma ao quadrado em relação a t:
ddt|vec v(t)|^2 =ddtlang<=vec v(t),vec v(t)rang<= =2lang<=vec v(t),vec a(t)rang<=
Por outro lado, como |vec v(t)|^2=k^2 é constante, temos
ddt(k^2)=0
Igualando as duas derivadas obtemos
2lang<=vec v(t),vec a(t)rang<==0
e, portanto,
lang<=vec v(t),vec a(t)rang<==0

Passo 3

Geometricamente, lang<=vec v,vec arang<==0 significa que a aceleração é sempre ortogonal à velocidade. Ou seja, quando a velocidade tem módulo constante, a aceleração só muda a direção do movimento e não a velocidade, caracterizando uma trajetória de velocidade uniforme em módulo.

Resposta

\langle\vec v(t),\vec a(t)\rangle=0

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