Seja
, derivável até a
ordem. Suponha que
forneça a posição, no instante
, de um ponto
que se move no espaço. Definimos a velocidade
e a aceleração
de
, no instante
, por
e
. Mostre que se
para todo
, em que
é um constante, então
para todo
. Interprete geometricamente.
Dica: Derive a função
.
Dica: Derive a função
Passo 1
Neste exercício temos uma função vetorial
, com
e
. Sabemos que a norma da velocidade é constante, isto é,
para todo
. Precisamos mostrar que
. Para isso, vamos usar a derivada da função
.
Passo 2
Diferenciando a identidade de norma ao quadrado em relação a
:
Por outro lado, como
é constante, temos
Igualando as duas derivadas obtemos
e, portanto,
Passo 3
Geometricamente,
significa que a aceleração é sempre ortogonal à velocidade. Ou seja, quando a velocidade tem módulo constante, a aceleração só muda a direção do movimento e não a velocidade, caracterizando uma trajetória de velocidade uniforme em módulo.
Resposta
\langle\vec v(t),\vec a(t)\rangle=0