Use o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos das funções
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ g(x, y) = x^{3} + 2y^{2} - 3x - 4y $ e precisa usar o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos dela. Isso significa que vamos encontrar onde as derivadas parciais de $ g $ em relação a $ x $ e $ y $ são zero e, depois, determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos críticos. Para isso, precisamos encontrar as derivadas parciais de $ g $ em relação a $ x $ e $ y $ e igualá-las a zero.
A derivada parcial de $ g $ em relação a $ x $ é:
E igualando a zero:
Agora, a derivada parcial de $ g $ em relação a $ y $ é:
E igualando a zero:
Então, temos dois pontos críticos: $ (1, 1) $ e $ (-1, 1) $.
Passo 3
Agora vamos aplicar o teste da derivada segunda para classificar esses pontos. Precisamos calcular as derivadas segundas:
Em seguida, calculamos o discriminante $ D $ para cada ponto crítico:
Passo 4
Vamos calcular $ D $ para o ponto $ (1, 1) $:
Como $ D > 0 $ e $ g_{xx} > 0 $, isso indica que o ponto $ (1, 1) $ é um mínimo relativo.
Passo 5
Agora, vamos calcular $ D $ para o ponto $ (-1, 1) $:
Como $ D < 0 $, isso indica que o ponto $ (-1, 1) $ é um ponto de sela.
Resposta
O ponto $ (1, 1) $ é um mínimo relativo e o ponto $ (-1, 1) $ é um ponto de sela.