Use o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos das funções
g(x, y)=x^3+2 y^2-3 x-4 y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ g(x, y) = x^{3} + 2y^{2} - 3x - 4y $ e precisa usar o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos dela. Isso significa que vamos encontrar onde as derivadas parciais de $ g $ em relação a $ x $ e $ y $ são zero e, depois, determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos críticos. Para isso, precisamos encontrar as derivadas parciais de $ g $ em relação a $ x $ e $ y $ e igualá-las a zero.
A derivada parcial de $ g $ em relação a $ x $ é:
g
E igualando a zero:
x
Agora, a derivada parcial de $ g $ em relação a $ y $ é:
y
E igualando a zero:
g
Então, temos dois pontos críticos: $ (1, 1) $ e $ (-1, 1) $.

Passo 3

Agora vamos aplicar o teste da derivada segunda para classificar esses pontos. Precisamos calcular as derivadas segundas:
gxx = partial^2 gpartial x^2 = 6x
gyy = partial^2 gpartial y^2 = 4
gxy = partial^2 gpartial x partial y = 0
Em seguida, calculamos o discriminante $ D $ para cada ponto crítico:
D

Passo 4

Vamos calcular $ D $ para o ponto $ (1, 1) $:
D
(1, 1)
gxx = 6(1) = 6
gyy = 4
Como $ D > 0 $ e $ g_{xx} > 0 $, isso indica que o ponto $ (1, 1) $ é um mínimo relativo.

Passo 5

Agora, vamos calcular $ D $ para o ponto $ (-1, 1) $:
D
(-1, 1)
gxx = 6(-1) = -6
gyy = 4
Como $ D < 0 $, isso indica que o ponto $ (-1, 1) $ é um ponto de sela.

Resposta

O ponto $ (1, 1) $ é um mínimo relativo e o ponto $ (-1, 1) $ é um ponto de sela.

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